yht:
(x
3+6x−7)[mx
2+(m−3)x+1] = 0 (oznaczmy to równanie jako *)
x
3+6x−7=0 ∨ mx
2+(m−3)x+1=0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
1
0: x
3+6x−7=0
1
3+6*1−7=0
x=1 jest pierwiastkiem
dzielenie przez (x−1), np. schemat Hornera lub pisemnie
(x−1)(x
2+x+7)=0
x=1 ∨ x
2+x+7=0
Delta drugiego równania ujemna, więc zostaje tylko x=1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
2
0: mx
2+(m−3)x+1=0
Sprawdzam:
a) co się dzieje gdy funkcja nie jest kwadratowa (m=0)
b) dla jakiego m pierwiastkiem równania mx
2+(m−3)x+1=0 jest x=1 (czyli to samo co w 1
0), i
dla znalezionej wartości m patrzę czy równanie 2
0 ma jakieś jeszcze inne pierwiastki poza
x=1:
c) dla jakiego m równanie ma 2 rozwiązania (Δ>0), jedno rozw. (Δ=0), brak rozw. (Δ<0)
a) m=0
−3x+1=0
| | 1 | |
Dla m=0 równanie (*) ma dwa rozwiązania: x=1 oraz x= |
| |
| | 3 | |
b) m*1
2+(m−3)*1+1=0
m+m−3+1=0
2m−2=0
m=1
Dla m=1 sprawdzam inne pierwiastki równania 2
0:
1*x
2+(1−3)x+1=0
x
2−2x+1=0
(x−1)
2=0
x=1
nie ma pierwiastków poza x=1
Dla m=1 równanie (*) ma jedno rozwiązanie: x=1
c)
mx
2+(m−3)x+1=0
a=m, b=(m−3), c=1; −b=−(m−3), m≠0
Δ=(m−3)
2−4*m*1 = m
2−6m+9−4m=m
2−10m+9
Równanie mx
2+(m−3)x+1=0 ma 2 różne pierwiastki gdy Δ>0
Δ>0 → m
2−10m+9>0
Δ
m = 100−4*1*9 = 64 →
√Δm = 8
m
2 = 9
Δ > 0 → m∊(−
∞, 1) ∪ (9, +
∞)
Wykluczamy m=0 bo wtedy nie ma funkcji kwadratowej
m∊(−
∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (9, +
∞) − wtedy równanie 2
0 ma 2 rozwiązania
Δ = 0 → m=1 lub m=9
Dla m=1 rozwiązaniem równania 2
0 jest x=1, a dla m=9 jest 9x
2+6x+1=0 czyli (3x+1)
2 = 0 czyli
Δ < 0 → m∊(1, 9)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Równanie (*) ma:
− jedno rozwiązanie dla m∊<1, 9), rozwiązaniem tym jest x=1 (to wynika z równania 1
0)
− dwa rozwiązania dla m∊{0, 9} (przypadek że równanie 2
0 nie jest kwadratowe, oraz przypadek
że w równaniu 2
0 jest Δ=0)
− trzy rozwiązania dla m∊(−
∞,0)∪(0,1)∪(9,+
∞) (równanie 2
0 ma spełniony warunek Δ>0)
