zadanka
Pełcio: Dobry wieczór!
Takie dwa mam, nie za bardzo wiem jak:
1. Znajdź wszystkie czwórki liczb rzeczywistych x,y,z,n, dla których
x
2+y
2+z
2+n
2= x
3+y
3+z
3+n
3=1.
x
2−x
3+y
2−y
3+z
2−z
3+n
2−n
3=0 <−−− tu moje pomysły się kończą, wydaje mi się że
potrzebne jest jakieś szacowanie
2. Wielokąt opisany na okręgu o promieniu R rozcięto na trójkąty. Wykazać, że suma promieni
okręgów wpisanych w te trójkąty jest większa od R.
21 lut 19:15
Rafal: 1) Wszystkie liczby x, y, z i n muszą należeć do przedziału [−1,1], bo w przeciwnym wypadku
x2+y2+z2+n2>1. Wobec tego x2≥x3, y2≥y3, z2≥z3 i n2≥n3, czyli
x2+y2+z2+n2≥x3+y3+z3+n3, przy czym równość może zachodzić tylko wtedy, gdy x2=x3,
y2=y3, z2=z3 i n2=n3. Oznacza to, że wszystkie czwórki (x, y, z, n) składają się z liczb
0 i 1. Teraz widać, że rozwiązaniami są permutacje czwórki (1,0,0,0).
21 lut 19:58
Rafal: Jakiś czas temu miałem z tym zadaniem sporo problemów, więc może wrzucę rozwiązanie.
n − liczba boków wielokąta
r
1, r
2,..., r
n − długości promieni okręgów wpisanych w trójkąty powstałe po triangulacji
l
1, l
2,..., l
n − obwody tych trójkątów
P
1, P
2,..., P
n − pola tych trójkątów
R − długość okręgu wpisanego w wielokąt
L − obwód wielokąta
P − pole wielokąta
Ze wzoru na pole wielokąta mamy
oraz
Należy uzasadnić, że
r
1+r
2+...+r
n>R,
czyli
| 2P1 | | 2P2 | | 2Pn | | 2P | |
| + |
| +...+ |
| > |
| |
| l1 | | l2 | | ln | | L | |
| | 2Pi | | 2Pi | |
Z nierówności li<L, i=1,2,...,n, wynika, że |
| > |
| . Wobec tego |
| | li | | L | |
| 2P1 | | 2P2 | | 2Pn | |
| + |
| +...+ |
| > |
| l1 | | l2 | | ln | |
| | 2P1 | | 2P2 | | 2Pn | | 2(P1+P2+...+Pn) | | 2P | |
> |
| + |
| +...+ |
| = |
| = |
| =R, |
| | L | | L | | L | | L | | L | |
co kończy dowód.
21 lut 20:46
Pełcio: Ok, pierwsze rozumiem, a w drugim to z jakiego wzoru na pole korzystasz?
21 lut 21:50
Pełcio: Aaaa, wszystko jasne. Dziękuję bardzo
21 lut 22:45
relaa:
Dla jakich wartości parametru m trójmian kwadratowy f(x) = (m − 1)x2 + 2mx + 3m − 2
jest kwadratem pewnego dwumianu?
21 lut 22:51
Metis: Δ=0
21 lut 23:08
relaa:
I co dalej?
21 lut 23:11
Eta:
m≠1 i Δ=0
21 lut 23:14
Adamm: czy to jest podchwytliwe pytanie?
21 lut 23:16
relaa:
Tak.
21 lut 23:17
Adamm: czy chodzi o to że dla m=1/2 nie możemy zapisać wyrażenia jako kwadrat dwumianu?
21 lut 23:24
relaa:
Dokładnie. Gratuluję zauważenie tego.
21 lut 23:28
Adamm:
21 lut 23:29
Pełcio: Hmm.. tylko dla m= 1/2 to nie działa?
21 lut 23:32
Eta:
Jeszcze trzeci warunek :
m−1>0 bo wtedy mamy f(x)=a(x−k)2 i a>0
21 lut 23:33
Metis: Jestem ... ślepy
21 lut 23:36
Pełcio: Eta, a jeśli byłoby m−1<0 to w czym to przeszkadza?
21 lut 23:38
Pełcio: Aha, jak podniesiesz do kwadratu to nie może być ujemne, o to chodzi?
21 lut 23:39
relaa:
Niech f(x) = x2 + 12x + 30. Rozwiązać równanie f(f(f(f(f(x))))) = 0.
21 lut 23:43
Adamm: łatwe
21 lut 23:46
relaa:
To zadanie opiera się na spostrzegawczości i nie jest trudne jak sam napisałeś.
21 lut 23:49
Pełcio: To dla Ciebie Adamm
Wielomian P(x) ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli
wielomiany P(x) oraz P(P(P(x))) mają wspólny pierwiastek rzeczywisty,
to mają także wspólny pierwiastek całkowity.
21 lut 23:52
Pełcio: relaa, rozwiązania to po prostu rozwiązania tego? x2+12x+30=0?
21 lut 23:53
Adamm: P(x0)=0
P(P(P(x0)))=P(P(0))
x0=P(0)
tym pierwiastkiem jest P(0)
21 lut 23:55
Niespokojny wode: Korzystając z definicji zbadaj, czy istnieje pochodna funkcji f(x)= |2x| w punkci x =0. Pomoze
ktoś ?
21 lut 23:56
Adamm: Pełcio, nie
21 lut 23:56
relaa:
Pełcio nie. Rozwiązaniem jest x = −6 ± 32√6.
21 lut 23:57
Adamm: napisałem x0=P(0), pomiń to
21 lut 23:58
Pełcio: No to jednak potrzebuję tłumaczenia..
Adamm to jest zadanie z 2 etapu OMa i zrobiłeś to w minutę......
21 lut 23:59
Adamm: nieprawda, zadania z OMa na pewno takie nie są
22 lut 00:01
22 lut 00:01
relaa:
Kolejne zadanie na spostrzegawczość.
(x2 − 5x − 2)2 − 5(x2 − 5x − 2) − 2 = x
22 lut 00:03
Pełcio: Powoli, najpierw to mi powiedzcie jak tamto zrobić..
Ale to wygląda lepiej, pomyślę.
22 lut 00:04
Pełcio: Właśnie w piątek i sobotę jest II etap OMa, jak się uda zrobić z jedno zadanie to będzie dobrze
22 lut 00:05
Adamm: musisz sam na coś wpaść
nikt ci na maturze nie pomoże
22 lut 00:05
Pełcio: Ok, spróbuję.
22 lut 00:06
Pełcio: Dobra, teraz to już nic nie wymyślę, jutro po szkole
Dobranoc.
22 lut 00:20
Pełcio: Do tego pierwszego...
x
4+24x
3+216x
2+864x+1290=0
biorąc pod uwagę jak to wygląda, to pewnie to głupota
nie wiem, nie widziałem jeszcze takich
zadań
22 lut 17:48
Adamm: to jest głupota
zrób to jeszcze raz
22 lut 17:49
Pełcio: Ok, spróbuję ostatni raz.
22 lut 17:51
Adamm: sprowadź do postaci kanonicznej funkcję f(x)
22 lut 17:56
Pełcio: Czy tu jest tak bardzo, bardzo dużo liczenia?
22 lut 18:05
Adamm: nie
22 lut 18:14
relaa:
Wystarczy zauważyć, że x2 + 12x + 30 = (x + 6)2 − 6, więc
f(f(x)) = [(x + 6)2 − 6 + 6]2 − 6 ⇒ f(f(x)) = (x + 6)4 − 6, zatem
f(f(f(f(f(x))))) = (x + 6)32 − 6.
22 lut 18:16
Krzysiek: f(x)=x
2−5x−2
f(f(x))=x
x
2−5x−2=x
x
2−6x−2=0
x=
√11+3 lub x=−
√11+3
x
2−5x−2=
√11+3 lub x
2−5x−2=−
√11+3
| | 5 | | 5 | |
x=√√11+3+334+ |
| lub x=−√√11+3+334+ |
| lub |
| | 2 | | 2 | |
| | 5 | | 5 | |
x=√−√11+3+334+ |
| lub x=−√−√11+3+334+ |
| |
| | 2 | | 2 | |
22 lut 18:28
Pełcio: 
zmarnowałem tyle czasu, a po prostu pisałem sobie
f(f(x))= [(x+6)
2−6]
2− 6
22 lut 18:29
Pełcio: o kurcze, rzeczywiście Krzysiek..
no, ciekawe, zapamiętam
22 lut 18:38
relaa:
Krzysiek mógłbyś powiedzieć co zrobiłeś?
22 lut 18:38
Adamm: Krzysiek, źle masz
f(f(x))=x
dla x
0 spełniających f(x
0)=x
0 mamy również f(f(x
0))=f(x
0)=x
0
f(x
0)=x
0
x=
√11+3 lub x=−
√11+3
dzieląc f(f(x))−x przez f(x)−x dostajemy pozostałe rozwiązania
x
2−4x−6=0 to x=2−
√10 lub x=2+
√10
22 lut 18:43
relaa:
Ledwo widzę tam liczby. Lepiej zapisywać potęgi w takich formach, bo jeżeli dobrze widzę to
| | 33 | | 5 | |
jest tam x = ±(√11 + 3 + |
| )1/2 + |
| oraz |
| | 4 | | 2 | |
| | 33 | | 5 | |
x =±(±√11 + 3 + |
| )1/2 + |
| tak? |
| | 4 | | 2 | |
22 lut 18:45
Adamm: ja tam widzę ujemne liczby pod pierwiastkami
22 lut 18:46
Pełcio: Dobra, ja się już pogubiłem, jak to dzielisz Adamm?
22 lut 18:50
relaa:
Można też tak.
(x2 − 5x − 2)2 − 5(x2 − 5x − 2) − 2 = x
(x2 − 5x − 2)2 − 4(x2 − 5x − 2) − x2 + 5x + 2 − 2 = x
(x2 − 5x − 2)2 − 4(x2 − 5x − 2) = x2 − 4x
(x2 − 5x − 2)2 − 4(x2 − 5x − 2) + 4 = x2 − 4x + 4
(x2 − 5x − 2 − 2)2 = (x − 2)2
|x2 − 5x − 4| = |x − 2|
22 lut 18:51
Pełcio: O, zdecydowanie bardziej mi się podoba
22 lut 18:51
Adamm: dobrze, więcej nie będę ci wysyłał moich rozwiązań
22 lut 18:54
relaa:
Adamm spokojnie. Zapewne tak Pełcio napisał, bo od razu zrozumiał, a im więcej
pomysłów na zadanie tym lepiej.
22 lut 18:58
Pełcio: ale dobrze wiesz, że nie o to mi chodzi, chyba mam za mały móżdżek jeszcze
jesteś wiele poziomów wyżej, ale też od ciebie mam sporo przydatnych rzeczy
powiedz mi np. jak to podzielić:
| f(f(x))−x | |
| , wstawić liczby i dzielić wielomiany? |
| f(x)−x | |
22 lut 18:59
KKrzysiek: Pełcio jest w 6 klasie podstawówki, także trochę wyrozumiałości dla niego
22 lut 19:26
Pełcio: KKrzysiek chciałbym
a wyrozumiałości to owszem, potrzeba
22 lut 19:37