permutacje shadof: Dane są permutacje 𝛼,𝛽. Wiedząc, że 𝛼=(1,3,5)(2,4,6) oraz 𝛽=(1,6)(2,3,4,5) wyznacz 𝛾, jeżeli: 𝛼¹²⁵⁴∘𝛽⁴³⁴⁵∘𝛾²³⁹∘𝛼³⁴⁹∘𝛽³⁴⁰⁹=𝛼⁹⁵⁸⁶∘𝛽¹²⁴⁸⁵. ∘ oznacza złożenie permutacji. Nie wiem jak się za to zabrać. jeżeli an oznacza złożenie permutacji samej z sobą to czy powyższe permutacje nie będą permutacjami identycznościowymi? ( ich rząd jest mniejszy niż liczba złożeń) A jaki sens ma składanie permutacji identycznościowych?

iteRacj@: Czy ten początek rozwiązania jest poprawny? α¹²⁵⁴∘β⁴³⁴⁵∘γ²³⁹∘α³⁴⁹∘β³⁴⁰⁹=α⁹⁵⁸⁶∘β¹²⁴⁸⁵ α⁻¹²⁵⁴∘α¹²⁵⁴∘β⁴³⁴⁵∘γ²³⁹∘α³⁴⁹∘β³⁴⁰⁹∘β⁻³⁴⁰⁹= =α⁻¹²⁵⁴∘α⁹⁵⁸⁶∘β¹²⁴⁸⁵∘β⁻³⁴⁰⁹ β⁻⁴³⁴⁵∘β⁴³⁴⁵∘γ²³⁹∘α³⁴⁹∘α⁻³⁴⁹=β⁻⁴³⁴⁵∘α⁸³³²∘β⁹⁰⁷⁶∘α⁻³⁴⁹ γ²³⁹=β⁻⁴³⁴⁵∘α⁸³³²∘β⁹⁰⁷⁶∘α⁻³⁴⁹ Jak dalej uprościć prawą stronę równania?

Adamm: uprość na cykle

Adamm: np. β⁻⁴³⁴⁵ = [(1,6)(2,3,4,5)]⁻⁴³⁴⁵ = (przemienność tych cykli) = (1,6)⁻⁴³⁴⁵(2,3,4,5)⁻⁴³⁴⁵ = (rząd tych cykli) = (1,6)(2,3,4,5)⁻¹ = ...

Adamm: α⁸³³² = (1,3,5)(2,4,6) β⁹⁰⁷⁶ = Id α⁻³⁴⁹ = (1,3,5)⁻¹(2,4,6)⁻¹ γ²³⁹ = (1,6)(5,4,3,2)(1,3,5)(2,4,6)(1,3,5)⁻¹(2,4,6)⁻¹ = (1,6)(5,4,3,2)

Adamm: trzeba chyba założyć że γ∊S₆ wtedy γ²³⁹ = γ⁻¹ i γ = (6,1)(2,3,4,5)

Adamm: 20:51 − głupoty ale i tak mamy szczęście, bo 239 jest względnie pierwsze z 720 = 6! (nawet jest liczbą pierwszą) 239*479−159*720 = 1 γ²³⁹ = (1,6)(5,4,3,2) γ^{239*479−159*720} = [(1,6)(5,4,3,2)]⁴⁷⁹ γ = [(1,6)(5,4,3,2)]⁴⁷⁹ γ = (1,6)(5,4,3,2)⁻¹ γ = (1,6)(2,3,4,5)

Adamm: czyli γ = β

iteRacj@: A można tak liczyć? Rząd permutacji α wynosi trzy, dla β jest to cztery. więc β⁹⁰⁷⁶=β^4*229=Id α⁷⁹⁸³=α^3*2661=Id γ⁻¹=β⁻⁴³⁴⁵∘α⁸³³²∘β⁹⁰⁷⁶∘α⁻³⁴⁹=β⁻⁴³⁴⁵∘α⁷⁹⁸³=β^{−1086*4−1}∘α⁷⁹⁸³= =β⁻¹ γ⁻¹=β⁻¹ czy z tego można wyciągnąć wniosek, że γ=β ?

Adamm: można

iteRacj@: Dziękuję!