Równanie wielomianowe z parametrem Zdolna: Proszę o pomoc.Dla jakich wartości parametru m równanie x⁴+(m+1)x²+m²+6m+9=0 ma dwa różne rozwiązania? Mam problem z równaniami wielomianowymi z parametrem, więc prosiłabym o bardzo dokładne wytłumaczenie.

Jerzy: Podstawiasz: x² = t i dla równania kwadratowego ustalasz takie warunki, aby miało dwa rozwiazania różnych znaków.

Metis: Jerzy jeżeli równanie kwadratowe będzie miało 2 rozw. to ten wielomian 4

Zdolna: To mam. Pytanie, dlaczego musi mięc rozwiązania RÓŻNYCH znaków?

Zdolna: mieć* Metis, dlaczego tak się dzieje?

Jerzy: Przeciwnych znaków !

Zdolna: Mój błąd! wracam do pytania

Scoiatel: Δ>0 t₁t₂<0

Jerzy: jeśli jedno t będzie ujemne, to x² = t ( btrak rozwiazań )

Jerzy: @Metis ... napisałem różnych znaków, czyli jedno ujemne

Zdolna: Scoiatel, to też już mam. Wychodzi m=−3; z delty x∊(−5,−2 1/3), co nie pokrywa się z odpowiedzią.

Zdolna: m*∊

Jerzy: To pokaż obliczenia .

Metis: Powoli zdolna Rozpisz sobie wszystko powoli.

Zdolna: A co z rozwiązaniem dla x=0? Wtedy m=−3

Jerzy: A kto Cię pyta o x = 0 ?

Zdolna: Dobrze. Rozpisuję to tak: x²=t t²+t(m+1)+m²+6m+9 1)Δ>0 2) t₁*t₂<0 (dlaczego muszą mieć przeciwne znaki?) 1) Δ= −3m²−22m−35 √Δ_Δ =8 m₁=−2 1/3 m₂=−5 więc m∊(−5; 2 1/3) 2) c/a =0 (m+3)²=0 m=−3

Zdolna: /x=0 też może być rozwiązaniem równania przecież?

Jerzy: Dlatego,że jedno rozwiązanie t < 0 odpadnie , bo: x² ≥ 0 A dlaczego sądzisz,że x = 0 może byc rozwiązaniem ?

Zdolna: Dlaczego nie mogłoby być? Parabola przechodząca przez x=0 i drugi po którejś stronie osi y. Okej, ma sens! Chwila, skoro t>0, to dlaczego t₁*t₂<0?

Jerzy: Jeśli: t₁*t₂ < 0 to jedno z nich musi być ujemne. Co do x = 0 , to nie wypisuj bzdur.

Zdolna: Może jestem głupia po prostu, mimo wszystko chciałabym zrozumieć, dlaczego nie może być rozwiązaniem x=0. Sam napisałeś, że rozwiązanie t₁<0 odpada. Czyli należałoby tu wpisać t₁*t₂>0?

Jerzy: Nie zawracaj sobie głowy tym x = 0 ,oczywiście może byc rozwiazaniem, ale nie musi. W tym zadaniu to nas kompletnie nie interesuje. Warunek: t₁*t₂ zapewnia,że jedno t jest dodatnie, a drugie ujemne, a o to nam chodzi.

Jerzy: t₁*t₂ < 0 gwarantuje jedno t dodatnie, drugie ujemne.

Zdolna: Okej, to wszystko wyjaśnione. Tylko warunek stawiamy sobie sami. Równie dobrze, wydaje mi się, oba t mogłyby byc większe od zera?

Jerzy: Nie, bo wtedy wyjściowe równanie miałoby cztery rozwiazania, a nie dwa.

Jerzy: I jeszcze mała poprawka do tego zadania. Możemy dopuścić,że równanie kwadratowe ma tylko jeden pierwiastek, ale dodatni

Zdolna: To już wszystko jasne z tym 't' o przeciwnych znakach. Tylko jeden pierwiastek daje nam wtedy tylko jedno rozwiązanie, a chcemy dwa?

Jerzy: Tak , dlatego musimy nałożyć warunek: t > 0 Np: t = 4 ⇔ x₁ = 2 lub x −2 = −2 Jeśli: t = 0 ⇔ x² = 0 ( i mamy tylko jeden pierwiastek )

Zdolna: I jeszcze pozostaje kwestia odpowiedzi, w której napisane jest, że m∊{−5;−2 1/3}. Nie bierzemy pod uwagę całego przedziału przypadkiem?

Zdolna: Czyli moje t=0 przeszło.

Jerzy: Nie, bo jeśli: t = 0 to mamy: x² = 0 ⇔ x = 0 ( czyli równanie wyjsciowe ma tylko jedno rozwiazanie, a nie dwa różne)

Zdolna: Okej, rozumiem, zakładamy t dodatnie dla równania kwadratowego i co robimy, żeby miec dwa rozwiązania dla równania wyjściowego?

Jerzy: Jeszcze raz : 1) albo mamy jedno t > 0 , a drugie ujemne ( wtedy wyjściowe ma dwa różne rozwiązania) ) 2) albo mamy jedno t > 0 ( wtedy równanie wyjściowe ma dwa różne rozwiazania )

Zdolna: Jak rozwiązać drugi przypadek? Z Viete'a dla t₁+t₂>0, a więc −B/a>0 ?

Jerzy: Nakładasz dwa warunki: 1) Δ = 0

	b
2) −		> 0
	2a

Zdolna: I jasne. Z pierwszego przypadku: Δ>0 t₁*t₂<0 wychodzi mi m∊(−∞,−3)vm∊(−3,+∞) oraz m∊(−5;−2 1/3) Czyli m∊(−5,−3)v(−3; −2 1/3) Z drugiego: Δ=0 m1= −2 1/3 m2= −5 m<−1 Jak pogodzić oba przypadki?

Zdolna: Ma wyjsc m=−5 v m=−2 1/3 co wychodzi w drugim przypadku, ale w pierwszym te dwie liczby nie należą do zbioru wartości parametru m.

Zdolna: To nie jest tak, że musi zachodzić tylko drugi przypadek? t>0musi zachodzić, ponieważ t=x², gdzie x≠0

Zdolna: To nie jest tak, że musi zachodzić tylko drugi przypadek? t>0musi zachodzić, ponieważ t=x², gdzie x≠0

Zdolna: To nie jest tak, że musi zachodzić tylko drugi przypadek? t>0musi zachodzić, ponieważ t=x², gdzie x≠0

Kacper: Jeśli chcesz dokładnego wyjaśnienia to napisz na gg (8959257), bo tutaj to strasznie długo się pisze