Równanie wielomianowe z parametrem Zdolna: Pilnie proszę o pomoc. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x₁ x₂ x₃ równania x³−9x²+26x+m=0 spełniają warunki x₂=x₁+r i x₃=x₁+2r? Wyznacz rozwiązania tego równania. Wiem, że był już podobny temat założony, jednak prosiłabym o rozwiązanie zadania za pomocą wzorów Viete'a.

Pomocy:

	−b
x1+x2+x3=
	a

	c
x1x2+x1x3+x2x3=
	a

	−d
x1x2x3=
	a

Zdolna: Dzięki, chodziło mi raczej o wzory Viete'a stopnia trzeciego, przepraszam za brak uzupełnienia informacji. x₁+x₂+x₃=−p x₁*x₂+x₁*x₃+x₂+x₃=q x₁*x₂*x₃=−r Da radę z tego?

Adamm: nie wiadomo czy równanie ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste czy potrafisz powiedzieć dla jakich m równanie ma 3 różne pierwiastki?

Zdolna: A nie, przepraszam, jest okej. Tylko −d? Co tam wpisać? W tym zadaniu to będzie m?

yht: x³−9x²+26x+m a=1, b=−9, c=26, d=m

	−b
10: x1+x2+x3 =
	a

	−d
20: x1*x2*x3 =
	a

	c
30: x1*x2 + x1*x3 + x2*x3 =
	a

1⁰: x₁+x₁+r+x₁+2r = 9 2⁰: x₁*(x₁+r)*(x₁+2r) = −m 3⁰: x₁(x₁+r)+x₁(x₁+2r)+(x₁+r)(x₁+2r) = 26 1⁰: 3x₁+3r = 9 → r = 3−x₁ podstawiam do 3⁰: x₁(x₁+3−x₁) + x₁(x₁+2(3−x₁)) + (x₁+3−x₁)(x₁+2(3−x₁)) = 26 x₁ * 3 + x₁(6−x₁) + 3(6−x₁) = 26 3x₁ + 6x₁ − x₁² + 18 − 3x₁ = 26 −x₁² + 6x₁ − 8 = 0 Δ = 36−4*(−1)*(−8) = 4 √Δ = 2 Będą dwa przypadki:

	−6−2
x11 =		= 4, wtedy r = 3−x1= 3−4 = −1
	−2

	−6+2
x12 =		= 2, wtedy r=3−x1 = 3−2 = 1
	−2

1. przypadek: x₁ = 4, r = −1 2. przypadek: x₁ = 2, r = 1 Wyznaczam parametr m oraz rozwiązania x₂, x₃ dla każdego z dwóch przypadków, z równania 2⁰: 1. przypadek: x₁*(x₁+r)*(x₁+2r) = −m 4(4−1)*(4−2) = −m 4*3*2 = −m m = −24 x₂ = x₁+r = 4−1 = 3 x₃ = x₁+2r = 4−2 = 2 2. przypadek: x₁*(x₁+r)*(x₁+2r) = −m 2*(2+1)*(2+2) = −m 2*3*4 = −m m = −24 x₂ = x₁+r = 2+1 = 3 x₃ = x₁+2r = 2+2 = 4 −=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=− Odp. m = −24, rozwiązania to: x₁=4, x₂=3, x₃=2 lub x₁=2, x₂=3, x₃=4

Zdolna: Wspaniale! Dziękuję bardzo yht