Wzór skróconego mnozenia?
felek: X4−x3−2x+2 =0
x3(x−1) −2(x−1) =0 <−−− jak wzór skróconego mnożenia został tu zastosowany?
(x−1)(x3−2) =0
17 lut 10:59
Jerzy:
Wyłączono przed nawias: (x −1)
17 lut 11:00
felek: Jaki sprint
Okej, dziękuje
17 lut 11:03
felek: i to powinno wyść x=1 lub x= 3 √2 ?
17 lut 11:13
Jerzy:
= 1 lub x = 3√2
17 lut 11:40
Mariusz:
Równanie czwartego stopnia można zredukować do równania trzeciego stopnia
wzorami skróconego mnożenia ale aby z jednego nich skorzystać przydatny
jest też wyróżnik równania kwadratowego
Jeżeli chcesz użyć metody współczynników nieoznaczonych do rozkładu
wielomianu czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
to proponuję dwa usprawnienia tej metody
a
4x
4+a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0=0
| | a3 | |
1. Stosujemy podstawienie x=y− |
| |
| | 4a4 | |
a następnie otrzymane równanie dzielimy przez a
4
Po tym podstawieniu równanie do którego sprowadzimy równanie czwartego stopnia
nadal będzie szóstego stopnia
ale będzie miało zerowe współczynniki przy nieparzystych potęgach
2.
| | a3 | |
Po podstawieniu x=y− |
| otrzymujemy równanie |
| | 4a4 | |
y
4+b
2y
2+b
1y+b
0=0
Aby zabezpieczyć naszą metodę przed dzieleniem przez zero
proponuję rozbić rozwiązywanie tego równania na dwa przypadki
y
4+b
2y
2+b
1y+b
0=0
a)
b
1=0
W tym przypadku równanie możemy zapisać jako
(y
2)
2+b
2(y
2)+b
0=0
i po wprowadzeniu nowej zmiennej otrzymamy równanie kwadratowe
b)
b
1≠0
W tym przypadku stosujemy metodę współczynników nieoznaczonych
(y
2−py+q)(y
2+py+r)=y
4+b
2y
2+b
1y+b
0
y
4+py
3+ry
2−py
3−p
2y
2−pry+qy
2+pqy+qr=y
4+b
2y
2+b
1y+b
0
y
4+(q+r−p
2)y
2+(pq−pr)y+qr=y
4+b
2y
2+b
1y+b
0
q+r−p
2=b
2
pq−pr=b
1
qr=b
0
q+r=b
2+p
2
p(q−r)=b
1
4qr=4b
0
q+r=b
2+p
2
4qr=4b
0
4qr=4b
0
| | b12 | |
b22+2p2b2+p4− |
| −4b0=0 |
| | p2 | |
p
6+2b
2p
4+(b
22−4b
0)p
2−b
12=0
Po wprowadzeniu nowej niewiadomej otrzymamy równanie trzeciego stopnia
a zatem udało nam się zredukować stopień równania
19 lut 09:56
Mariusz:
Jeżeli chodzi o równanie trzeciego stopnia to metoda algebraiczna wymaga
zastosowania liczb zespolonych a i tak nie zawsze uda się nam
rozdzielić część rzeczywistą od urojonej
a
3x
3+a
2x
2+a
1x+a
0=0
| | a2 | |
1. Stosujemy podstawienie x=y− |
| |
| | 3a3 | |
a następnie dzielimy otrzymane równanie przez a
3
y
3+b
1y+b
0=0
2. Zakładamy że pierwiastek jest w postaci sumy dwóch składników i podstawiamy y=u+v
Równanie zapiisujemy w postaci
y
3=3b
1y+2b
0
Stosujemy podstawienie y=u+v
y
3=u
3+3u
2v+3uv
2+v
3
y
3=u
3+3(u+v)uv+v
3
y
3=3uvy+u
3+v
3
y
3=3b
1y+2b
0
y
3=3uvy+u
3+v
3
Teraz porównujemy współczynniki przy wielomianach i otrzymujemy układ równań
u
3+v
3=2b
0
uv=b
1
u
3+v
3=2b
0
u
3v
3=b
13
Powyższy układ równań to wzory Vieta równania kwadratowego o pierwiastkach u
3 oraz v
3
t
2+2b
0t+b
13=0
Po znalezieniu pary (u,v) spełniającej układ równań
u
3+v
3=2b
0
uv=b
1
łatwo znajdziemy jeden z pierwiastków równania
Mając jeden z pierwiastków równania pozostałe możemy znaleźć
dzieląc wielomian trzeciego stopnia przez dwumian x−x
1
Możemy znaleźć pozostałe pary (u,v) spełniające układ równań
u
3+v
3=2b
0
uv=b
1
korzystając z pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki
ε
1=e
2iπ/3
ε
2=e
4iπ/3
ε
3=e
6iπ/3
19 lut 11:47
Mariusz:
To równanie kwadratowe które otrzymaliśmy powinno oczywiście wyglądać tak
t2−2b0t+b13=0
19 lut 11:53