ciąg - granica, dowód ZEUSxD: Niech dany będzie ciąg liczbowy x_n, gdzie: x₁=9 x_n=√16+6x_n−1 dla n≥2 1. Wykaż, że: (1) Dla każdego x∊N spełniona jest nierówność 8<x_n≤9 (2) ciąg (x_n) jest ciągiem malejącym 2. Obliczyć granicę ciągu (x_n), jeśli jest on zbieżny. Liczę na waszą pomoc, ponieważ mam egzamin jutro i nie za bardzo wiem jak zabrać się do tego zadania. A siedzę już naprawdę długo przy tym zadaniu. Pozdrawiam

Adamm: 8<x₁≤9 zakładamy że 8<x_n≤9 x_n+1=√16+6x_n≤√16+6*9=√70≤9 x_n+1=√16+6x_n>√16+6*8=8 na mocy indukcji dla n≥1 zachodzi 9≥x_n>8 x_n+1−x_n=√16+6x_n−x_n<0 dla x_n∊(8;9> zatem ciąg jest malejący skoro jest monotoniczny i ograniczony to również zbieżny granicę można policzyć z zależności g=√16+6g, stąd granica to g=8

ZEUSxD: Dzięki za szybką odpowiedź. Rozwiązanie dało naprawdę dużo!