granica Info:

	cosx		ex		sin2x/2x−ex
lim x→0(		−		) mam coś takiego lim x→0
	x		sinx		sinx*x/x

sin2x/2x=1

	0
sinx/x=1 ale nadal jest
	0

Info: ≤≥

'Leszek: Po uproszczeniu jak pokazales otrzymujesz wyrazenie

	1−ex		−ex
lim		= [ 0/0 ] = lim		= −1 , to dla x →0 , i zastosowalem
	x		1

regule de'Hospitala

Adamm: 'Leszek, policz mi pochodną e^x z definicji, potrafisz?

Adamm: obliczanie granicy pochodną do której trzeba użyć tej granicy, coś nie tak

'Leszek: Obliczam pochodna funkcji f(x) = e^x na podstawie definicji : f(x) = e^x f(x+h) = e^{x + h}

	f(x+h) − f(x)		ex+h − ex
f ' (x) = lim		= lim		=
	h		h

	eh −1
= ex * lim		dla h→0
	h

Obliczam teraz granice podstawiajac h = 0 +1/n dla n →∞

	e1/n − 1
lim		= 1 , dla n →∞
	(1/n)

poniewaz e = ( 1 + 1/n )ⁿ dla n →∞ czyli ( e^x ) ' = e{x}

Adamm: myślę że tutaj wystąpiła dosyć pokrętna logika granica ma istnieć dla dowolnego h, nie tylko dla ciągu 1/n nie jestem również pewien co do e=(1+1/n)ⁿ dla n→∞ łatwo można tę granicę obliczyć podstawieniem e^x−1=t

	t		1		1
limt→0		= limt→0		=		= 1
	ln(1+t)		ln(1+t)1/t		lne

'Leszek: P.Adamm

	1
Przeciez lim ( 1 +		)n = e , dla n→∞
	n

Wobec tego

	1
n√e = ( 1 +		)
	n

	1
Czyli n*( 1 +		− 1) = 1 ,dla n→∞
	n

Rowniez Pan korzysta z tego samego faktu obliczajac granice ln(1+t)^(1/t) Wiec nie wiem w czym jest problem ?

Adamm: nie korzystam z tego faktu lim_n→∞ (1+1/n)ⁿ = e, tak ale (1+1/n)ⁿ≠e dla dowolnego n (rzeczywistego) nie można zapisać tego jako równania korzystanie z tego jest bez sensu e to liczba, nie ciąg

'Leszek: To jak Pan wykaze ,ze lim ( t/ ln (1+t)) = 1/ ln e , dla t →0 ? Przeciez widac ,ze skorzystal Pan z faktu liczby e jako granicy okreslonego ciagu . bo w jaki sposob pojawil sie tam ln e ?

Adamm: skorzystałem ale nie tak samo

'Leszek: W podrecznikach autorow W.Leksinski i W.Zakowski dowodzenie pewnych granic jest opisane taki sam sposob jak pokazalem. Ale ja mam do Pana tym razem pytanie , jak wykazac ,ze zbior ( X, d ) gdzie d(x,y) jest metryka w zbiorze , to d₂( x,y ) = ln ( 1 + d(x,y ) ) tez jest metryka w tym zbiorze .

Adamm: 1. d₂(x, y)=0 ⇔ d(x, y)=0 ⇔ x=y 2. d(x, y)=d(y, x) ⇒ ln(1+d(x, y))=ln(1+d(y, x)) ⇔ d₂(x, y)=d₂(y, x) 3. ln(1+d(x, y))≤ln(1+d(x, z))+ln(1+d(y, z)) ⇔ 1+d(x, y)≤1+d(x, z)+d(y, z)+d(x, z)d(y, z) ⇔ ⇔ d(x, y)≤d(x, z)+d(y, z)+d(x, z)d(y, z) d(x, y)≤d(x, z)+d(y, z) ∧ d(x, z)d(y, z)≥0 ⇒ d(x, y)≤d(x, z)+d(y, z)+d(x, z)d(y, z) ⇔ ⇔ ln(1+d(x, y))≤ln(1+d(x, z))+ln(1+d(y, z)) zatem d₂(x, y) też jest metryką

'Leszek: OK ! Wielkie dzieki ! Mialem troche problemu z warunkiem 3)