czynniki czynniki: Ile jest roznych mozliwosci zapisania liczby 360 w postaci 3 czynnikow?

Jerzy: Wskazówka: Rozłóż tą liczbę na czynniki pierwsze.

czynniki: 360=2³*3²*5¹.

czynniki: No jest rozlozona i co dalej?

Jerzy: Wysłałem post, ale nie doszedł...mamy dzielniki: 2,3,4,5,8,9 ... i terz kombinuj: np. (9*8*5) (9*4*10) ... itd.

czynniki: No a jak bede miec liczbe 259831093278540 to tez bede tak rozpisywac?

czynniki: Jakim sposobem da sie to policzyc?

czynniki: Istnieje jakis sposob?

Mila: Mam sposób, ale podaj odpowiedź, bo nie wiem, czy czegoś nie zgubiłam.

czynniki: Odp. 180.

Sztok: O ile sie nie myle rozpisujesz czynniki dzielace i bawisz sie kombinatorka (tak tym najgorszym dzialem szkoly sredniej )

czynniki: Poczekamy jak wyszlo Mili.

Krzysiek: https://brilliant.org/problems/abc-1000/

czynniki: Rozwiazanie ma zawierac rowniez iloczyny typu 1*2*180 i rowniez uwzgledniac powtarzanie dzielnikow, czyli np. 2*2*90

czynniki: Tymi czynnikami beda dzielniki liczby 360. Przykladowe rozpisania: 1*1*180, 1*2*180, 4*3*30 itd.

czynniki: Znalazlem rozwiazanie, ale dla innej liczby. Tam byly 4 rozne czynnki pierwsze. Szukano liczby rozwiazan ukladu rownan w liczbach calkowitych niujemnych. a+b+c=x d+e+f=y g+h+i=z j+k+l=w gdzie,x,y,z,w to wykladniki poteg odpowiednich czynnikow pierwszych. Mozliwosc rozwiazania jednego takiego rownania to kimbinacja z powtorzeniami, gzie n=3 (bo mamy a,b,c), k=x.

	n+k−1 k		3+x−1 x		2+x x
Ze wzoru na te kombinacje		=		=		. I tak z pozostalymi. Potem

mozliwosci rozwiazan kazdego z tych rownan mnozono. I to byla ostateczna odpowiedz.

Krzysiek: abc=360 Skoro 360=2³*3²*5¹, to każda z liczb a,b,c musi być postaci 2ⁿ3^k5^l 1) Policzmy na ile sposobów możemy wybrać potęgę 2 2) Policzmy na ile sposobów możemy wybrać potęgę 3 3) Policzmy na ile sposobów możemy wybrać potęgę 5 Jeśli A, B, C są wykładnikami potęgi 2 w odpowiednio a, b, c, to A+B+C=3, liczba sposobów na

	3+2 2
jakie możemy to zrobić to

	2+2 2
To samo z wykładnikami potęgi 3,

	1+2 2
To samo z wykładnikami potęgi 5,

	3+2 2	2+2 2	1+2 2
Więc odpowiedź to				=180

Mila: dla Krzyśka.

czynniki: Dziekuje za pomoc Czyli kombinacje z powtorzeniami? A dlaczego pozniej to wszystko pomnozono?

Mila:

	5 2
Czynnik a można ustalić na		sposobów,

	4 2
czynnik b można ustalić na		sposobów,

	3 2
czynnik c można ustalić na		sposobów.

Mila: Podaj mi linka do rozw. które znalazłeś wcześniej 18:34

czynniki: https://www.matematyka.pl/417386.htm#p5475097

czynniki: Mnozymy, bo te wybory sa niezalezne tak?

Mila: Właśnie zastanawiam się. Masz to zadanie z poziomu LO czy studiów? Myślałam nad zastosowaniem innej teorii.

czynniki: Miedzy LO a studia.

Mila: To na razie zostaw, ale będziemy myśleli. Zapisz sobie gdzieś adres tego wpisu. Też mnie ciekawi wyjaśnienie do końca. Zastanawiam się czy otrzymamy tą metodą iloczyn równy 360. A liczyłeś na piechotę? Było wcześniej podobne zadanie − nie rozwiązane, ale nie mogę znaleźć.

czynniki: Moze trzeba sprobowac dla mniejszej liczby, zeby bylo latwiej rozpisac?

Mila: No dobrze, próbujemy : 72=2³*3²

Mila: a*b=72

czynniki: Myslalem jeszcze o mniejszej liczbie np. 14=2¹*7¹.

	3 1		3 1
Wtedy		*		=3*3=9

1) 1*1*14 2) 1*14*1 3) 14*1*1 4) 1*2*7 5) 1*7*2 6) 2*7*1 7) 2*1*7 8) 7*1*2 9) 7*2*1 albo krocej ciag (1,1,14) moge uporzadkowac na 3 rozne sposoby a ciag (1,2,7) na 3!=6 roznych sposobow. Zatem jest ich 9, czyli tak jak wyszlo w obliczeniu wzorem.

Mila: Tak, moje też się zgadzają. Wracam do przykładu 360=a*b*c 360=2³*3²*5¹ x₁+x₂+x³=3 niech rozw. będzie trójka liczb (1,2,0) y₁+y₂+y₃=2 niech rozw. będzie trójka liczb (0,0,2) z₁+z₂+z₃=1 niech rozw. będzie trójka liczb (0,1,0) wtedy : a=2^x₁*3^y₁*5^z₁=2¹*3⁰*5⁰=2 b=2^x₂*3^y₂*5^z₂=2²*3⁰*5¹=4*5=20 c=2^x₃*3^y₃*5^z₃=2⁰*3²*5⁰=9 a*b*c=2*20*9=360 Zatem wszystko się zgadza.

czynniki: Mam jeszcze takie pytanie do 19:32.

	5 2
1) Czy tam nie powinno byc, ze wykladniki liczby 2 w a*b*c mozemy ustalic na		sposobow,

a nie czynnik a ustalamy? Analogicznie do pozostalych? 2) Wybory tych wykladnikow dla poszczegolnych czynnikow pierwszych w a*b*c wybieramy niezaleznie tak? Dlatego pozniej mnozymy tak?

Mila: Tak.