ciag
ciag: Wartość której z liczb w ciągu √2, √2+√2, √2+√2+√2 po raz pierwszy przekroczy 2?
15 lut 23:56
Adamm: dla żadnej
15 lut 23:59
Adamm: nie przekroczy
16 lut 00:00
ciag: Dlaczego?
16 lut 00:01
Adamm: a1=√2, an+1=√2+an
a1<2
zakładamy że an<2
mamy an+1=√2+an<√2+2=2
na mocy indukcji dla dowolnego n≥1 zachodzi an<2
można również wykazać że ciąg dąży do 2
16 lut 00:07
ciag: A jak wykazac, ze ciag dazy do 2?
16 lut 00:12
Adamm: wystarczy wykazać że jest rosnący, wtedy na mocy twierdzenia o ciągu
ograniczonym i monotonicznym istnieje skończona granica
wtedy musi zachodzić g=√2+g stąd g=2
16 lut 00:14
Adamm: a
n+1=
√2+an−a
n
co jest większe od zera dla a
n∊<−2;2>
ponieważ 0<a
n co jest dosyć oczywiste oraz a
n<2 co wykazaliśmy to
a
n+1−a
n>0 skąd ciąg jest rosnący (od razu widać że ciąg jest rosnący, ale
trzeba to udowodnić)
16 lut 00:18