matematykaszkolna.pl
Granica funkcji. zealot_93: Proszę o pomoc w obliczeniu następującej granicy funkcji:
 tgx−sinx 
lim
 sin3x 
x−>0(x dąży do zera)
15 lut 18:24
Jerzy: Zastosuj regułę H
15 lut 18:28
zealot_93: wiem a bez reguły H? wiem ze bez reguły H da sie to zrobic
15 lut 18:30
Adamm:
 tgx−sinx sinx 1−cosx 
limx→0
= limx→0
*
 x3 x x2cosx 
teraz 1−cosx=2sin2(x/2) nie trzeba stosować reguły
15 lut 18:30
Adamm:
 sinx 
limx→0
= 1 oczywiście
 x 
15 lut 18:32
Mariusz:
tg(x)−sin(x) sin(x) 1 
=(
−sin(x))
sin3(x) cos(x) sin3(x) 
sin(x)−sin(x)cos(x) 
cos(x)sin3(x) 
sin(x)−sin(x)cos(x)x31 
x3sin3(x)cos(x) 
sin(x)−sin(x)cos(x) 
x3 
sin(x)1−cos(x) 
xx2 
1−cos2(x) 
x2(1+cos(x)) 
sin2(x)1 
x21+cos(x) 
 1 1 
limx→0
=
 1+cos(x) 2 
15 lut 18:33
zealot_93: dzieki a moglbys mi to jakos bardziej wytlumaczyc bo kompletniie tego zapisu nie rozumiem
15 lut 18:35
zealot_93: o dziekiuje o to mi chodzilo
15 lut 18:37
zealot_93: a nie rozumiem czemu 1/cos(x) zniklo w 3 linijcce?
15 lut 18:44
zealot_93: z3 linijki znaczy sie
15 lut 18:45
Adamm:
1 x3 
→1 oraz
→1 więc Mariusz już tego tak nie rozpisywał
cosx sin3x 
15 lut 18:46
zealot_93: acha bo cos0 jest rowne 1 tak?
15 lut 18:49
Adamm: tak
15 lut 18:51
Adamm: a cosx jest funkcją ciągłą
15 lut 18:51
zealot_93: dziekuje na prawde mialem niezly dylemat z tym zadaniem
15 lut 18:52
Mariusz:
 sin(x) 
Myślę że stosując regułę de l'Hospitala potrzebowalibyśmy tylko granicy limx→0
 x 
 tg(x+Δx)−tg(x) 
tg(x)+tg(Δx) 
−tg(x)
1−tg(x)tg(Δx) 
 
limΔx→0
=limΔx→0
 Δx Δx 
 
tg(x)+tg(Δx)−tg(x)+tg2(x)tg(Δx) 
1−tg(x)tg(Δx) 
 
limΔx→0
 Δx 
 
tg(Δx)+tg2(x)tg(Δx) 
1−tg(x)tg(Δx) 
 
limΔx→0
 Δx 
 tg(Δx)1+tg2(x) 
limΔx→0
 Δx1−tg(x)tg(Δx) 
 sin(Δx)11+tg2(x) 
limΔx→0
 Δxcos(Δx)1−tg(x)tg(Δx) 
=1+tg2(x)
 sin(x+Δx)−sin(x) sin(x)cos(Δx)+cos(x)sin(Δx)−sin(x) 
limΔx→0
=limΔx→0
 Δx Δx 
 sin(x)(cos(Δx)−1)+cos(x)sin(Δx) 
limΔx→0
 Δx 
 1−cos(Δx) 
=−sin(x)limΔx→0
+cos(x)limΔx→0sin(Δx)}{Δx}
 Δx 
 (1−cos(Δx))(1+cos(Δx)) 
=−sin(x)limΔx→0
+cos(x)limΔx→0sin(Δx)}{Δx}
 Δx(1+cos(Δx)) 
 sin2(Δx) 
=−sin(x)limΔx→0
+cos(x)limΔx→0sin(Δx)}{Δx}
 Δx(1+cos(Δx)) 
 sin(Δx)sin(Δx) 
=−sin(x)limΔx→0
+cos(x)limΔx→0sin(Δx)}{Δx}
 Δx1+cos(Δx) 
=cos(x)
 sin3(x+Δx)−sin3(x) 
limΔx→0
 Δx 
 (sin(x+Δx)−sin(x))(sin2(x+Δx)+sin(x+Δx)sin(x)+sin2(x)) 
limΔx→0
 Δx 
 sin(x+Δx)−sin(x) 
limΔx→0
(sin2(x+Δx)+sin(x+Δx)sin(x)+sin2(x))
 Δx 
 sin(x+Δx)−sin(x) 
3sin2(x)limΔx→0
 Δx 
 sin(x+Δx)−sin(x) sin(x)cos(Δx)+cos(x)sin(Δx)−sin(x) 
limΔx→0
=limΔx→0
 Δx Δx 
 sin(x)(cos(Δx)−1)+cos(x)sin(Δx) 
limΔx→0
 Δx 
 1−cos(Δx) 
=−sin(x)limΔx→0
+cos(x)limΔx→0sin(Δx)}{Δx}
 Δx 
 (1−cos(Δx))(1+cos(Δx)) 
=−sin(x)limΔx→0
+cos(x)limΔx→0sin(Δx)}{Δx}
 Δx(1+cos(Δx)) 
 sin2(Δx) 
=−sin(x)limΔx→0
+cos(x)limΔx→0sin(Δx)}{Δx}
 Δx(1+cos(Δx)) 
 sin(Δx)sin(Δx) 
=−sin(x)limΔx→0
+cos(x)limΔx→0sin(Δx)}{Δx}
 Δx1+cos(Δx) 
=cos(x)
 sin3(x+Δx)−sin3(x) 
limΔx→0
=3sin2(x)cos(x)
 Δx 
15 lut 19:48