Nierówność z różnicą logarytmów (zmienna t). Paweł: Cześć, mam problem z zadankiem z logarytmami, liczę że ktoś pomoże. Wykaż, że jeśli a∊(0;1) i b∊(1;∞), to: log_a b−log²_a b<0. To co udało mi się zrobić: log_a b−log²_a b<0 wprowadzam zmienną t: t=log_a b, t<0 (wynika z podanych założeń) t−t²<0 ⇔−t(t−1)<0 ⇔ t∊(−∞;0) ∪ (1;∞). Wydaje mi się, że z racji tego, że funkcja jest malejąca, gdzieś powinno się zmienić stronę nierówności i wtedy wynik (chyba) by się zgadzał. Proszę o pomoc. pozdrawiam

Jerzy: Z złożenia: log_ab < 0 t = log_ab Musumy pokazać,że dla t < 0 mamy: t(t − 1) < 0 ⇔ t ∊ (−∞;0) U (1;+∞) , co kończy dowód.

Paweł: Szczerze to nie rozumiem. Mógłbyś to jakoś wyjaśnić?

Jerzy: Co jest niejasne? Z treści zadania wynika,że: log_ab < 0 Podstawiamy: t = log_ab mamy wykazać,że jeśli t < 0 , to prawdziwa jest nierówność t − t² < 0 , co właśnie wykazalismy.

Paweł: Wychodzi nam, że t jest ujemne, ale może być też dodatnie (1;+∞). Czy ten drugi przedział nie ma już wpływu na odp. bo pojawił się przedział z liczbami ujemnymi?

Jerzy: Rozwiazniem nierówności t(t − 1) < 0 jest alternatywa ( suma przedziałów ), a więc skoro t ∊ (−∞;0) , to spełnia warunki założenia: t < 0

Paweł: Super! dzięki za pomoc, już rozumiem