dzielenie
zapis: Jaka jest reszta z dzielenia liczby 2017209 przez 4?
14 lut 16:37
Adamm: liczba 2017208 dzieli się przez 4 ponieważ dwie ostatnie cyfry dzielą się przez 4
zatem 2017209 dzieli się przez 4 z resztą 1
14 lut 16:48
zapis: Ale ta liczba jest zapisana w systemie dziewiatkowym
14 lut 17:27
Adamm: aha, myślałem że się pomyliłeś
2017209=2*95+93+7*92+2*9≡2+1+7+2≡0 (mod 4)
14 lut 17:29
zapis: A moglbym poprosic o wytlumaczenie tego?
Jak mozna to uogolnic dla dowolnego systemu o podstawie p?
14 lut 17:34
Adamm: użyłem kongurencji
dla dowolnego systemu o podstawie p w sensie?
warunek podzielności przez 4?
14 lut 17:36
zapis: tak
14 lut 17:40
Adamm: dla dowolnej liczby o podstawie 9
an*9n+...+a0≡an+...+a0 ( mod 4)
zatem liczba o podstawie 9 jest podzielna przez 4 tylko jeśli jej suma cyfr jest
14 lut 17:42
zapis: Dziekuje. A jakby np. bylo
a) podzielna przez 5 w systemie o podstawie 9?
b) podzielna przez 2 w systemie o podstawie 7?
14 lut 17:47
Adamm: p≥2 oraz p∊ℕ
dla p=4k gdzie k jest całkowite mamy
a
n*p
n+....+a
0≡a
0 (mod 4) gdzie a
i∊ℕ oraz 0≤a
i<p
zatem o podzielności dla podstaw podzielnych przez 4 decyduje ostatni wyraz
podobnie p=4k+1
a
n*p
n+...+a
0≡a
n+...+a
0
o podzielności dla podstaw podzielnych przez 4 z resztą 1 decyduje suma cyfr
p=4k+2
a
n*p
n+...+a
0≡a
n*2
n+...+a
0
o podzielności dla podstaw podzielnych z resztą 2 decyduje podzielność liczby o takich samych
cyfrach w systemie binarnym
p=4k+3
a
n*p
n+...+a
0≡a
n*(−1)
n+...+a
0
o podzielności dla podstaw podzielnych z resztą 3 decyduje suma naprzemiennych znakowo
cyfr
14 lut 17:52
Adamm: a) an*9n+...+a0≡an*(−1)n+...+a0 (mod 5)
na przykład mając liczbę 18719 mamy
−1+8−7+1=1
zatem liczba 18719 dzieli się przez 5 z resztą 1
b) an*7n+...+a0≡an+...+a0 (mod 2)
tutaj decyduje suma cyfr
14 lut 17:55
Adamm: co do postu 17:52
dla p=4k+2 można uprościć
an*2n+...+a0≡2*a1+a0 (mod 4)
tutaj interesują nas 2 ostatnie cyfry
14 lut 17:59
zapis: a) a jak np. ma byc podzielna przez 5 w systemie o podstawie 9 to wowczas:
p=9
p=5k+4 dla k=1 mamy p=5+4=9 a tutaj jakie jest warunek i skad one sie biora?
14 lut 18:04
Adamm: p=5k+4
an*pn+...+a0≡an*(−1)n+...+a0 (mod 5)
jak już mówiłem
różnica cyfr na miejscach parzystych i nieparzystych musi być podzielna przez 5
14 lut 18:07
zapis: ale dlaczego akurat naprzemienna? skad mam wiedziec kiedy jak ma byc?
14 lut 18:09
Adamm: policzyłem kongurencją
to jest rachunek reszt z dzielenia
na przykład
4≡1 ( mod 3)
ponieważ 4 daję resztę 1 z dzielenia przez 3
również w drugą stronę, 4≡7≡10≡... (mod 3) i tak dalej
mamy na przykład a≡b ∧ c≡d ⇒ ac≡bd (mod n) oraz a≡b ∧ c≡d ⇒ a+c≡c+d (mod n)
tutaj na przykład mamy 9n (gdzie n≥1)
ponieważ 9≡−1 (mod 5) to mamy
9n≡(−1)n (mod 5)
i to już z tego wychodzi
14 lut 18:15
zapis: reszta z dzielenia 9 przez 5 to −1?
14 lut 18:22
Adamm: nie, ale reszta z dzielenia 9 przez 5 oraz reszta z dzielenia −1 przez 5 jest taka sama
14 lut 18:24