Ciąg monotoniczny i ograniczony
azexs: Korzystajac z twierdzenia o ciagu monotonicznym i ograniczonym uzasadnij zbieznosc tego
ciagu.
x1=10
xn+1=4+√2+xn
Jak się do tego zabrac?
10 lut 20:24
Adamm: załóżmy że granica istnieje
wtedy musi spełniać g=4+√2+g czyli g=7
indukcją udowodnimy że xn≥7
dla n=1 mamy
10>7
zakładając że xn≥7 mamy
xn+1=4+√2+xn≥4+√2+7=7
zatem na mocy indukcji zachodzi xn≥7
teraz udowodnijmy że zachodzi xn+1−xn≤0 dla dowolnego n≥1
mamy xn+1−xn=4+√2+xn−xn
rozwiązujemy nierówność 4+√2+x≤x ⇔ √2+x≤x−4 zakładając że x≥7
mamy 2+x≤x2−8x+16 ⇔ 0≤x2−9x+14 ⇔ 0≤(x−7)(x−2) co jest prawdziwe z założenia
zatem xn+1−xn≤0
ciąg monotoniczny i ograniczony czyli zbieżny
10 lut 20:36