Wyrażenia algebraiczne, wielomiany, dowodzenie Hekkti: Witam, uczę się samodzielnie rozszerzenia i mam świadomość, że te zadania mogą być banalne dla osób z większym doświadczeniem więc proszę o pomoc w rozwiązaniu tych kilku zadań z którymi się ostatnio zderzyłem, i krótko mówiąc utknąłem... z góry dziękuję i proszę o wyrozumiałość. Oto zadania: 1. Zapisz wzór wielomian W(x)=(x−b)c² + (b−c)x² + (c−x)b² , gdzie b,c ∊ R, w postaci iloczynowej. 2.Wykaż, że jeżeli x₁, x₂,..., x_n to liczby rzeczywiste dodatnie takie, że x₁ * x₂ *... * x_n = 1, to (1+x₁)(1+x₂) + ... + (1+x_n) ≥ 2ⁿ. 3. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n liczba L=n¹² − 4n¹⁰ + 6n⁸ − 4n⁶ + n⁴ jest podzielna przez 1296 4. Wykaż, że jeżeli x⁻¹ + y⁻¹ + z⁻¹ = 1⁻¹ i ax³ = by³ = cz³ , to ³√a + ³√b + ³√c = ³√ax² + by² + cz²

relaa: 1. (x − b)c² + (b − c)x² + (c − x)b² = c²x − bc² + bx² − cx² + b²c − b²x = (c² − b²)x − cb(c − b) − (c − b)x² = (c − b)(c + b)x − cb(c − b) − (c − b)x² = (c − b)[(c + b)x − cb − x²] = (c − b)(cx + bx − cb − x²) = (c − b)[c(x − b) − (x − b)x] = (c − b)(x − b)(c − x) = (b − c)(x − b)(x − c)

g: 1) W(x) = (b−c)(x−b)(x−c) 3) L = [n(n−1)(n+1)]⁴ n(n−1)(n+1) podzielne przez 6 6⁴ = 1296

relaa: 2. Wykorzystując nierówność między średnimi.

1 + x1
	≥ √1 • x1
2

1 + x2
	≥ √1 • x2
2

...

1 + xn
	≥ √1 • xn
2

Mnożąc stronami otrzymujemy

1 + x1		1 + x2		1 + xn
	•		• ... •		=
2		2		2

(1 + x1)(1 + x2) • ... • (1 + xn)
	≥ √1 • x1 • √1 • x2 • ... • √1 • xn =
2n

√1 • x₁ • 1 • x₂ • ... • 1 • x_n = 1 (1 + x₁)(1 + x₂) • ... • (1 + x_n) ≥ 2ⁿ.

===: 3) W(x)=(n³−n)⁴ W(x)=n⁴(n²−1)⁴ W(x)=n⁴(n−1)⁴(n+1)⁴ dalej już jasne jako że 1296=6⁴

Hekkti: Dzięki wszystkim za pomoc. Mam jeszcze pytanie odnośnie 3 zadania czy to jest widoczne jak "ściągnąć" to wyrażenie w nawiasy i potęgi do momentu np. W(x)=(n³−n)⁴, czy tylko przez rozpisywanie bo przyznam szczerze że ja tu nie dałem rady nic wskórać i wciąż jest to dla mnie mało jasne?

relaa: Widać po symetryczności współczynników, że można szukać wzoru skróconego mnożenia.

Hekkti: Tak podejrzewałem że to już kwestia wprawy, jeszcze trooochę przede mną

relaa: Ewentualnie w ten sposób. n¹² − 4n¹⁰ + 6n⁸ − 4n⁶ + n⁴ = n⁴[n⁸ − 4n⁶ + 4n⁴ + 2n⁴ − 4n² + 1] = n⁴[(n⁴ − 2n²)² + 2(n⁴ − 2n) + 1] = n⁴(n⁴ − 2n² + 1)² = n⁴(n² − 1)⁴ = (n − 1)⁴n⁴(n + 1)⁴ = [(n − 1)n(n + 1)]⁴ Tutaj wykorzystałem tylko wzory a² − 2ab + b² = (a − b)² oraz a² − b² = (a − b)(a + b).

Hekkti: Teraz już jest wszystko jasne, jeszcze raz dzięki za pomoc i sorki za problem..

Adamm: 4)

	y3
a=b
	x3

	y3
c=b
	z3

	y3
ax2=b
	x

	y3
cz2=b
	z

założenia te same oraz b≠0 ³√a+³√b+³√c=³√ax²+by²+cz² ⇔ ³√b(y³/x³)+³√b+³√b(y³/z³)=³√b(y³/x)+by²+c(y³/z) ⇔ y/x+1+y/z=³√y²(y/x+1+y/z) ⇔ y=³√y²*y ⇔ y=y

Hekkti: Zastanawia mnie tylko skąd tu przyjęcie b=1 i znajomość wartości wyrażenia (y/x +1 + y/z)=y, z góry przepraszam jeśli to coś oczywistego co wychodzi z przekształcenia i czego nie dostrzegłem

Adamm: nie zostało przyjęte b=1

1		1		1
	+		+		=1 stąd
x		y		z

y/x+1+y/z=y

Hekkti: głupi ja.. x−o dziekuję za cierpliwość i zamykam temat.