wartość bezwzględna Ignacy: Cześć Jaki znak logiczny stoi pomiędzy przypadkami gdy rozpisuję wartość bezwzględną? Czy przez to, że zapisuję to wyrażenie spięte klamrą to jest równoznaczne koniunkcji? Bo z drugiej strony, gdy rozwiązuję zadanie z definicji wartości bezwzględnej to sumujemy przypadki

Jack: podaj jakis przyklad

Pytający: |x|<a ⇔ x<a ∧ x>−a |x|>a ⇔ x>a ∨ x<−a |x|=a ⇔ x=a ∨ x=−a

5-latek: |x|= a to x=a lub x=−a |x|≥a to x≥a lub x≤−a |x|≤a to x≤a i x≥−a

Ignacy: Podaję zadanie: Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których nierówność x²+4Ix−aI−a² ≥0 jest spełniona dal wszystkich liczb rzeczywistych x. Rozpisałem tą wartość bezwzględną na dwa przypadki i przeprowadziłem rozumowanie o niedodatniości wyróżnika w kazdym z przypadków. Obliczenia nie są długie, ale dochodzę do wniosku, że a=2 lub a =−2. W odpowiedzi jest przedział <−2;2>

Ignacy: no tak, dzięki, własności wartości bezwzględnej są dla mnie jasne. Chodzi mi jednak o to zadanie, gdyby mógł ktoś z Was zerknąć, to byłbym bardzo wdzięczny

Jack: x² + 4|x−a| − a² ≥ 0 x² − a² + 4|x−a| ≥ 0 (x−a)(x+a) + 4|x−a| ≥ 0 Rozpatrujemy 2 przypadki tzn. 1) x−a ≥ 0 2) x−a < 0 zatem 1) x − a ≥ 0 czyli x ≥ a (x−a)(x+a) + 4(x−a) ≥ 0 (x−a)(x+a+4) ≥ 0 Skoro rozpatrujemy w przedziale, gdzie x − a ≥ 0 to zeby calosc byla ≥ 0 (to znaczy te nawiasy (x−a)(x+a+4)) to (x+a+4) musi byc ≥ 0 (bo tylko plus razy plus daje plus (jesli juz mamy jeden z plusow)) zatem x ≥ − a − 4 ale x ≥ a stad zakladajac "minimum" a ≥ − a − 4 2a ≥ − 4 a ≥ − 2 teraz 2) x−a < 0 czyli x < a (x−a)(x+a) + 4(a−x) ≥ 0 (x−a)(x+a) − 4(x−a) ≥ 0 (x−a)(x+a−4) ≥ 0 skoro zalozenie jest ze x−a < 0 to zeby calosc bylo ≥ 0 to musimy miec, ze x+a−4 ≤ 0 (bo minus razy minus da nam plus) x ≤ 4 − a ale x < a zatem a ≤ 4 − a 2a ≤ 4 a ≤ 2 Zatem 1) i 2) da nam a ∊ <−2,2>

Ignacy: Dziękuję bardzo. Mam pytanie dlaczego nie możemy dojść do tego rozwiązania nie stosując tego wzoru na różnice kwadratów, tylko po prostu rozpisując tę wartość z definicji jako 1) x−a≥0 wtedy x²+4x−4a−a² 2)x−a<0 wtedy x²−4x+4a−a²

Ignacy: i dalej delta, warunek, że potrzbna jest jej niedodatniość i cześć wspólna z założeniem

Jerzy: Można zrobić tak, jak napisałeś.

Ignacy: no tak, ale wtedy nie wchodzi przedział, tylko zbiór dwuelementowy