Wyznacz wzor ogolny ciagu Michal: Wyznacz wzór ogólny ciągu 2, 22, 222, 2222, 22222 itd

Bogdan: a₁ = 2*10⁰ a₂ = 2*10¹ + 2*10⁰ = 2(10⁰ + 10¹} a₃ = 2*10² + 2*10¹ + 2*10⁰ = 2(10⁰ + 10¹ + 10²} a₄ = 2*10³ + 2*10² + 2*10¹ + 2*10⁰ = 2(10⁰ + 10¹ + 10² + 10³} ....... a_n = ..... Czym jest suma: 10⁰ + 10¹ + 10² + 10³ + ... + 10ⁿ⁻¹

Mariusz: a₀=2 a_n=10a_n−1+2 i teraz funkcja tworząca lub czynnik sumacyjny A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=1^∞a_nxⁿ=∑_n=1^∞10a_n−1xⁿ+∑_n=1^∞2xⁿ

	2x
∑n=1∞anxn=10x ∑n=1∞10an−1xn−1+
	1−x

	2x
∑n=0∞anxn−2=10x ∑n=0∞10anxn+
	1−x

	2x
A(x)−2=10xA(x)+
	1−x

	2x
A(x)(1−10x)=2+
	1−x

	2−2x+2x
A(x)(1−10x)=
	1−x

	2
A(x)=
	(1−x)(1−10x)

	10(1−x)−(1−10x)
A(x)=
	(1−x)(1−10x)

	2		10		1
A(x)=		(		−		)
	9		1−10x		1−x

	20	1		2	1
A(x)=			−
	9	1−10x		9	1−x

	20		2
A(x)=		∑n=0∞10nxn−		∑n=0∞xn
	9		9

	20		2
an=		10n−
	9		9

Bogdan: Koszmarnie to Mariuszu wygląda, spróbuj przekazać rozwiązanie prościej

Mila: 1) Liczbę : 2222 możemy zapisać tak: 2222=2+20+200+2000=2+2*10¹+2*10²+2*10³ 2) liczbę 222.....2 − n dwójek zapiszemy tak: a_n=2222....2=2+2*10¹+2*10²+.....+2*10ⁿ⁻¹ składniki sumy są wyrazami c. geometrycznego, gdzie a₁=2, q=10,

	1−10n
an =sn=2*
	1−10

	10n−1
an=2*
	9

========== spr.

	101−1
a1=2*		=2
	9

	102−1		99
a2=2*		=2*		=2*11=22
	9		9

itd

Bogdan: pozdrawiam Mila

Mila: Też pozdrawiam .

Mariusz: Znajdź wzór ogólny ciągu 39.0 39.5 40.0 40.5 41.0 41.5 42.0 25.0 25.4 25.7 26.0 26.4 26.7 27.0 Tak ciąg to funkcja z N→R ale po przenumerowaniu indeksów dostaniemy taką funkcję