pochodne zef: Zbadaj czy istnieje pochodna w punkcie x_o f(x)= (x−2)²+4 dla x≤2 4 dla x>2 no to liczę z definicji:

	f(2+h)−f(2)		4−4		0
limh→0+		=limh→0+		=		=
	h		h		0+

	f(2+h)−f(2)		(2+h−2)2+4−4		h2
limh→0−		=limh→0−		=limh→0−		=0
	h		h		h

Może ktoś sprawdzić i pomóc ?

Adamm:

	4−4
limh→0+		= limh→0+ 0 = 0
	h

zef: Czyli pochodna istnieje w punkcie x₀ i wynosi 0 ?

Adamm: tak

'Leszek: Zle rozwiazujesz dla x = 2 funkcja jest ciagla i ma pochodna lewostronna f ' (x) = 2(x −2) ⇒ f ' (2) = 0 dla x = 2 pochodna lewostronna , f ' ( x) = 0 czyli funkcja jest ciagla i rozniczkowalna. dla x = 0 f '(0) = − 4

Adamm: 'Leszek, nie rozwiązuje wcale źle, jego sposób nie jest w niczym gorszy od twojego

zef: W jaki sposób zrobił Leszek bo opisał to trochę chaotycznie.

'Leszek: Napisz poprawnie funkcje , bo dla x = 0 funkcja ma wedlug tego co zapisales f(x) = (x−2)² + 4

'Leszek: Adamm , ty liczysz pochodne dla x = 0 , a ja widze ze funkcja ma punkt zmieniajacy jej wzor dla x= 2, wiec licze pochodna na podstawie wzoru .

zef: No według mnie trzeba policzyć pochodne jednostronne w x₀=2 Zeby istniała granica to f'₋(2)=f'₊(2) ⇔

	f(2+h)−f(2)		f(2+h)−f(2)
limh→0−		=limh→0+
	h		h

Adamm: 'Leszek, pochodna jest liczona dla x=2

Adamm: definicja pochodnej pochodna w punkcie x₀ funkcji f która jest ciągła wyraża się wzorem

	f(x)−f(x0)		f(x0+h)−f(x0)
limx→x0		lub inaczej limh→0
	x−x0		h

Mariusz: Leszek h to jest przyrost argumentu

	f(x)−f(x0)
Można skorzystać z tego wzoru limx→x0
	x−x0

'Leszek: Ok , ale to co zapisal na poczatku @ zef jest zle napisane,w tresci zadania nie bylo napisane , ze trzeba badanie przeprowadzic na podstawie definicji, wiec policzylem na podstawie wzoru do obliczania pochadnej funkcji.

Adamm: 'Leszek, nie było jakiegoś zakazu używania definicji pochodnej do zadania

zef: Jak to obliczyć sposobem leszka ?

Mariusz: Lepiej liczyć korzystając z granic bo mogą nie uznać

zef: Aha, mam jeszcze jedno pytanie, odnośnie innego zadania. Mam w nim zbadać czy istnieją wartości parametrów m,k dla których funkcja jest różniczkowalna w zbiorze R Wiem, że pochodne jednostronne muszą być równe ale co jeszcze jest potrzebne ?

Adamm: ciągłość

'Leszek: OK zgadzam sie ze wszystkim , ale wobec tego prosze obliczyc na podstawie definicji pochodna funkcji f(x) = 2^x

zef: f(x)=4x+m jesli x<1 kx²+2x jesli x≥1 przyrównuję pochodne jednostronne w punkcie x=1

	f(1+h)−f(1)		k(1+2h+h2)+2+2h−k−k
limh→0+		=limh→0+		=0
	h		h

	f(1+h)−f(1)		4+4h+m−k−2		2+m−k
limh→0−		=limh→0−		=		=
	h		h		0−

No i bym obie przyrównał ale nie wiem jaki wynik jest w drugiej granicy. Sprawdzam teraz ciągłość lim_x→1⁻4x+m=4+m lim_x→1⁺kx²+2x=k+2 No i mam jedno równanie 4+m=k+2 a drugie ?

KKrzysiek: Wystarczy policzyć to samo jako e^(xln2)

Mariusz: Podstawieniami trzeba wyjść na granicę z e

	1
limx→∞(1+		)x
	x

Adamm: oj panie 'Leszku, to jest bardzo prosta pochodna

	f(x+h)−f(x)		2x+h−2x
limh→0		= limh→0		=
	h		h

	2h−1		eh*ln2−1
=2xlimh→0		= 2xlimh→0ln2*		=
	h		h*ln2

= 2^x*ln2

Aranger: Definicja ma to do siebie, że wszystko z niej policzysz.

Adamm: Aranger, zupełnie się nie zgadzam

Mariusz:

	ex−1
Adam chodziło mu aby policzyć także granice limx→0
	x

	1
mając daną granicę limx→∞(1+		)x
	x

np tak jak jest to podane u Franciszka Lei

zef: Post z godziny 20:17, może ktoś pomóc ?

Adamm:

	ex−1
limx→0		stosujemy podstawienie ex−1=t
	x

	t		1		1
limt→0		= limt→0		=		= 1
	ln(t+1)		ln(t+1)1/t		lne

Mariusz:

	1
U Franciszka Lei jest podstawienie ex−1=
	z

co prowadzi do granicy którą podał Bernoulli ale wymaga rozpatrzenia granic jednostronnych

zef:

a
	=?
0+

a
	=?
0−

Gdzie a∊R da się to obliczyć ?

Mariusz: Istnieją tylko granice jednostronne Gdybyśmy zastosowali podstawienie które wyżej podałem musielibyśmy liczyć dwie granice jedna →∞ a druga →−∞

Adamm: zef, dla a=0 mamy symbol nieoznaczony, dla reszty ±∞ zależy od znaku a

zef: Czyli rozumiem że chodzi o to:

a
	=+∞ dla a>0
0+

a
	=−∞ dla a<0
0+

a
	=+∞ dla a<0
0−

a
	=−∞ dla a>0
0−

Adamm: tak

zef: Dzieki bardzo za pomoc