Czy wykres dowolnej funkcji pierwotnej funkcji f(x)= (x^4)/2+2x^3-10x^2 jest wkl vwpawlusza: Czy wykres dowolnej funkcji pierwotnej funkcji f(x)= (x⁴)/2+2x³−10x² jest wklęsły w zbiorze (−∞,−5)? Jak to zrobić?

Pytający: http://www.naukowiec.org/wzory/matematyka/wkleslosc-i-wypuklosc_680.html "Jeżeli funkcja f ma pierwszą pochodną ciągłą na przedziale X, przy czym istnieje f′′(x)<0 dla każdego x leżącego wewnątrz X, to wykres funkcji f jest wklęsły na przedziale X." Funkcja pierwotna F(x) funkcji f(x) spełnia: ∫f(x)dx = F(x)+C F'(x)=f(x) Funkcje pierwotne różnią się o stałą, dlatego pierwsza pochodna dowolnej funkcji pierwotnej funkcji f(x) jest równa funkcji f(x). f(x) to funkcja ciągła na ℛ (w szczególności na (−∞,−5)). F''(x)=f'(x)=2x³+6x²−20x=2x(x+5)(x−2) ⇒ dla x∊(−∞,−5) F''(x)<0 Zatem tak, wykres dowolnej funkcji pierwotnej funkcji f(x) jest wklęsły w zbiorze (−∞,−5).