funkcja y=x^(1/3) ciągłość, styczna, pochodna. afxz: funkcja y=x⁽1/3) ciągłość, styczna, pochodna. Dana jest funkcja y=x⁽1/3) Czy : 1. funkcja f jest ciągła w punkcie x = 0 2. wykres funkcji f ma styczną w punkcie (0, 0) 3. istnieje f ′(0) ?

Adamm: 1. tak 2. tak 3. nie

afxz: Dlaczego jest ciągła w punkcie 0?

Adamm: ponieważ lim_x→0 x^1/3 = 0 = y(0)

afxz: Sprawdza się granice lewo i prawostronną dla tego punktu i sprawdza się, czy są takie same, tak? Jeśli nie są, to jest tam nieciągłość?

afxz: A dlaczego nie istnieje f'(0)?

afxz: I jak może mieć styczną w (0,0), skoro nie ma pochodnej f'(0), która jest potrzebna do policzenia stycznej?

Adamm: punkt musi być również równy granicy czasami przyjmuje się że jeśli granica istnieje ale nie wartość w punkcie to mamy nieciągłość usuwalną i przyjmujemy wartość w tym punkcie równą tej granicy

Adamm:

	f(h)−f(0)		1
f'(0) jest równe granicy limh→0		=limh→0		=∞
	h		h2/3

mówi się w tym przypadku o pochodnej niewłaściwej

afxz: Ok rozumiem, ale dlaczego w takim razie istnieje styczna? Przecież do jej wyliczenia potrzebna jest pochodna, nie można napisać wzoru stycznej z nieskończonościa

afxz: Wychodzi y−0=∞*(x−0), co raczej nie ma sensu

Adamm: nikt ci nie kazał tego podstawiać... to że pochodna jest równa ∞ w tym punkcie akurat ma znaczenie, mówi nam to że styczna jest równoległa do osi OY równanie stycznej w punkcie (0, 0) to x=0

afxz: O, mógłbym prosić o źródło tych warunków? Potrzebowałbym jeszcze dla −∞, dla f'(x0)=0 jest pozioma, tak? A normalna dla f'(x0) jest rownolegla do Ox?

Adamm: dla f'(x)=0 mamy styczną równoległą z osią x normalna jest oczywiście prostopadła do stycznej jeśli istnieje pochodna niewłaściwa w punkcie x₀ i jest równa −∞ to mamy tam styczną x=x₀

afxz: A normalną wyliczymy dla pochodnej niewłaściwej − lub + ∞ Wielkie dzięki za pomoc

Adamm: normalna musi być prostopadła do stycznej i przechodzić przez punkt zatem normalna miałaby równanie y=y₀ gdzie y₀=f(x₀)