Macierze, liceum Zbuku: Korzystajac z tw. Kronecker capelliego okresl, dla jakich wartossci parametru a , uklad jest oznaczony, nieoznaczony sprzeczny x−2y+2z=0 ax+a² y −4z=0 x+ay−2z=2

Pytający: http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/alg/scb/index55.html A=https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,-2,2%7D,%7Ba,a%5E2,-4%7D,%7B1,a,-2%7D%7D C=https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,-2,2,0%7D,%7Ba,a%5E2,-4,0%7D,%7B1,a,-2,2%7D%7D det(A)=−2a²+8 dla a≠−2∧a≠2 det(A)≠0 ⇒ rząd(A)=rząd(C)=3=liczba niewiadomych ⇒ układ oznaczony dla a=−2∨a=2 rząd(A)<3 minory 3x3 macierzy C: M₁=https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B-2,2,0%7D,%7Ba%5E2,-4,0%7D,%7Ba,-2,2%7D%7D M₂=https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,2,0%7D,%7Ba,-4,0%7D,%7B1,-2,2%7D%7D M₃=https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,-2,0%7D,%7Ba,a%5E2,0%7D,%7B1,a,2%7D%7D wyznaczniki: det(M₁)=−4(a²−4) det(M₂)=−4(a+2) det(M₃)=2(a²+2a) dla a=2 det(M₂)≠0 ⇒ rząd(C)=3>rząd(A) ⇒ układ sprzeczny dla a=−2 det(M₁)=det(M₂)=det(M₃)=0 ⇒ rząd(C)<3 minor 2x2 macierzy A (uzyskany przez skreślenie drugiego wiersza i drugiej kolumny): M₄=https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1,2%7D,%7B1,-2%7D%7D det(M₄)=−4≠0 ⇒ dla a=−2 rząd(A)=rząd(C)=2<liczba niewiadomych ⇒ układ nieoznaczony układ sprzeczny dla a = 2 układ nieoznaczony dla a = −2 układ oznaczony dla a∊ℛ\{−2,2}

PrzedsesjowaNauka: dla a=2 det(M2)≠0 ⇒ rząd(C)=3>rząd(A) ⇒ układ sprzeczny Prosze o wyjasnienie, rzad =3 mamy zarowno dla M2 i A

Pytający: rząd(A)=3 ⇔ det(A)≠0 "det(A)=−2a²+8 dla a=−2∨a=2 rząd(A)<3" Natomiast rząd macierzy rozszerzonej C jest równy co najmniej rzędowi macierzy A, gdyż macierz A jest jednym z 4 minorów 3x3 macierzy C (uzyskiwanych przez pominięcie kolejnych kolumn). rząd(C)>=rząd(A) dla A=2 rząd(A)=2 https://www.wolframalpha.com/input/?i=rank+of+%7B%7B1,-2,2%7D,%7Ba,a%5E2,-4%7D,%7B1,a,-2%7D%7D+for+a%3D2 dla A=2 rząd(M₂)=3 https://www.wolframalpha.com/input/?i=rank+of+%7B%7B1,2,0%7D,%7Ba,-4,0%7D,%7B1,-2,2%7D%7D+for+a%3D2 dla A=2 rząd(C)=3 https://www.wolframalpha.com/input/?i=rank+of+%7B%7B1,-2,2,0%7D,%7Ba,a%5E2,-4,0%7D,%7B1,a,-2,2%7D%7D+for+a%3D2

PrzedsesjowaNauka: Wszystko jasne, dzięki wielkie