Pochodne Majkel: Oblicz pochodne 1. f(x) = cos2x 2. f(x) = xarctg√x 1. cos2x=2cos²x−1 −−−> f'(x)=4cosx=−4sinx W odp: −2sin2x Proszę mi powiedzieć jak to obliczyć po kolei i co ja robię źle... Proszę też o rozwiązanie krok po kroku 2. Dziękuję za pomoc.

Jack: Wpierw cos(2x) patrzymy od zewnatrz i po woli wchodzimu do srodka zatem od samego zewnatrz − funkcja cosinus. pochodna z cosinusa ? pochodna z cosinusa to minus sinus, skoro mielismy cos(2x) to te 2x zostaje zatem czesc najbardziej od zewnatrz − to jej pochodna − sin(2x) i teraz wchodzimy do wewnatrz, wewnatrz jest 2x, zatem liczymy pochodna tego, pochodna 2x to 2. i na koncu mnozymy to wszystko tzn. pochodna ta z zewnatrz * pochodna ta wewnatrz zatem (cos(2x))' = −sin(2x) * 2 = − 2sin2x

Jack: 2. pochodna z x * arctg√x Mamy tutaj niedosc ze pochodna zlozona (arctg√x) to jeszcze pochodna ilocznu. (a * b)' = a' * b + b' * a zatem (x * arctg√x)' = x' * arctg√x + x * (arctg√x)' pochodna z x to 1, zatem jedyny problem to ten arctg√x jest to funkcja zlozona, bo mamy √x a nie sam x.

	1
Znowu idziemy od zewnatrz, pochodna arctgx to
	1+x2

zatem skoro mielismy √x to w miejsce x wstawiamy ten pierwiastek, czyli mamy

1
1+x

to jest tylko ta funkcja z zewnatrz. Teraz funkcja wewnetrzna

	1
(√x) ' =
	2√x

zatem ostatecznie pochodna arctg√x to

1		1
	*
1+x		2√x

a wiec wracajac do (x*arctg√x)'

	1		1
to mamy 1 * arctg√x + x *		*
	1+x		2√x

mozna to jeszcze uporzadkowac troche

	x		1
= arctg√x +		*		=
	x+1		2√x

	x		1		√x
= arctg√x +		*		*		(usuwamy niewymiernosc z mianownika) =
	2x+2		√x		√x

	√x
= arctg√x +
	2x+2

Michał: Dziękuję bardzo za pomoc, chyba sporo mi się rozjaśniło