Izomorfizm Omlet: Uzasadnić,że pierścień (ℤ,*,#) jest izomorficzny z pierścieniem (ℤ,+,^.) gdzie a*b=a+b+1 a#b=ab+a+b Mam uzasadnione już że oba są pierścieniami całkowitymi oraz że posiadają to samo zero pierścienia i jedynkę pierścienia lecz nie wiem czy to jest w ogóle potrzebne do uzasadnienia że są one izomorficzne? Proszę o wytłumaczenie co robić po kolei żeby uzasadnić izomorfizm

cosinusx: Aby te pierścienie były izomorficzne musi istnieć przekształcenie f takie, że: 1) f(a+b)=f(a)*f(b) 2) f(ab)=f(a)#f(b) 3) f jest bijekcją f(a+b)=f(a)*f(b)=f(a)+f(b)+1 Weźmy f(x)=x−1 (które oczywiście jest bijekcją) Wtedy: L=f(a+b)=a+b−1 P=f(a)+f(b)+1=a−1+b−1+1=a+b−1 czyli L=P Teraz trzeba sprawdzić, czy zaproponowane f(x) zachowuje mnożenie

cosinusx: Sprawdzamy czy: f(ab)=f(a)#f(b)=f(a)f(b)+f(a)+f(b) L=f(ab)=ab−1 P=f(a)f(b)+f(a)+f(b)= (a−1)(b−1)+a−1+b−1= ab−a−b+1+a−1+b−1= ab−1 czyli L=P Zatem istnieje izomorfizm z jednego pierścienia do drugiego, więc sa izomorficzne

Omlet: Dziękuję bardzo!