fukcja wykladnicza Joanna: Korzystajac z własnosci funkcji wykładniczej, uzasadnij, że równanie 3^x + 4^x = 5^x ma dokładnie jedno rozwiazanie.

Rafal:

	3		4
Zauważmy najpierw, że 3x+4x=5x ⇔ (		)x+(		)x=1. Załóżmy, że liczba t jest
	5		5

	3
rozwiązaniem powyższego równania, a następnie rozpatrzmy funkcje f(x)=(		)x i
	5

	4		3
g(x)=(		)x. Funkcje te są malejące w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ		<1 i
	5		5

	4
		<1. Oznacza to, że:
	5

1) jeśli x>t, to f(x)<f(t) i g(x)<g(t), a co za tym idzie f(x)+g(x)<f(t)+g(t)=1; 2) jeśli x<t, to f(x)>f(t) i g(x)>g(t), a co za tym idzie f(x)+g(x)>f(t)+g(t)=1. Wykazaliśmy zatem, że jeśli wyjściowe równanie ma rozwiązanie, to jest ono tylko jedno. To jedyne rozwiązane oczywiście istnieje − jest nim x=2. Gdyby rozwiązanie nie było tak oczywiste, to jego istnienie można spróbować uzasadnić, korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej i własności Darboux.

Joanna: Dziękuję bardzo!