granice Metis: Oblicz granicę:

	cos2x−cosx
lim
	sin2x

x−>0 cos(2x)=cos²x−sin²x sin²x+cos²x=1 ⇔ sin²x=1−cos²x cos(2x)=cos²x−sin²x ⇔ cos(2x)=cos²x−(1−cos²x) ⇔ cos(2x)=cos²x−1+cos²x cos(2x)=2cos²x−1

	cos2x−cosx
lim		=
	sin2x

x−>0

	2cos2x−cosx−1
lim		=
	1−cos2x

x−>0

	cosx(2cosx−1)−1
lim		=
	(1−cosx)(1+cosx)

x−>0

	cosx(2cosx−1)		1
lim		−
	(1−cosx)(1+cosx)		(1−cosx)(1+cosx)

x−>0 Macie inny pomysł na tę granicę?

Jack: hospital

Metis: Też nic ładnego nie daje.

Adamm: skoro już doszedłeś do formy 2cos²x−cosx−1 to rozbij ją na iloczyn

'Leszek: Rozloz wyrazenie 2 cos ² (x) − cos x − 1 = (2 cos x +1)( cos x −1) i wowczas po uproszczeniu

	2 cos x
lim		= − 1
	− 1 − cos x

jc: Matematycy znają szeregi i od razu od razu widzą wynik −3/2.

Jack: z hospitala :

	−2sin2x + sinx		−2sin2x		sinx
... = lim		= lim (		+		) =
	sin2x		sin2x		2sinxcosx

	1		1		3
= lim (−2 +		) = −2 +		= −
	2cosx		2		2

Metis: Ok, dzięki

'Leszek: SORRY w moim zapisie wkradl sie blad drukarski , w mianowniku powinno byc 2 cos x + 1 , zatem lim = −3/2

Metis: 2) Obliczyć całkę nieoznaczoną : ∫cos⁵(x)dx Jak najszybciej załatwić taką całkę?

Jack: ze wzoru rekurencyjnego na cosⁿx : D

Metis: 3) Oblicz pole ćwiartki tj. figury leżacej w 1 ćwiartce ukł. wsp. ograniczonej okregiem x²+y²=R²

	1		1
Wiemy, ze pole koła to P=πR2 , więc pole takiego koła		*π*R2 ⇔		(x2+y2)
	4		4

Chyba źle to zrobiłem

Adamm: 2) ∫(1−sin²x)²cosxdx t=sinx

Adamm: 3) zadanie polega na obliczeniu tego całką oznaczoną

Jack: 3) R

	1
∫ (√R2−x2) =		π R2
	4

0 u mnie takie rozw. byloby poprawne

jc: ∫₀^π cos²ⁿ x dx = ?

Metis: Szkoda, że nie dają wzorów na egzaminie nie widzę, sensu wkuwania na pamięć wzorów, wiedząc, że nasz mózg i tak je zapomni za 2, 3 miesiace bo taka jest zasada jego działania...

jc: Metis, a ile tych wzorów jest? przypuszczam, że z mniej oczywistych, to 7 pochodnych i 7 całek, pochodna iloczynu (całkowanie przez części), pochodna ilorazu, pochodna złożenia (podstawianie w całce). Dodałbym jeszcze wzór na sinus i kosinus sumy kątów, logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, no może jeszcze wzór na różnicę 3 potęg.

Metis: Zaczniemy tak dodawać jeszcze trochę i zrobi się niezła lista Ci którzy zajmują się matematyką na co dzień pamiętają je − to normalne.

jc: Na pewno znasz 3/4. Listy bym nie powiększał. Czy wyobrażasz sobie, że są uczniowie, którzy znają na wyrywki tablicę sinusów i kosinusów wielokrotności 30 i 45 stopni i na podstawie jakiegoś nieznanego mi algorytmu ustają kąty? I do czego to potrzebne?

Metis: 4) Oblicz pole pomiedzy osią OX, a wykres y=x²sinx, x∊<0,π> To będzie całka: |∫₀^π x²sinx| ?

jc: Dopisz dx i pomiń moduł (w tym przedziale funkcja jest nieujemna) i będzie dobrze.

Metis: Jasne

Mariusz:

	cos(2x)−cos(x)		cos(2x)−cos(x)	x2
limx→0		=limx→0
	sin2(x)		x2	sin2(x)

	cos(2x)−cos(x)
limx→0
	x2

	cos2(x)−cos(x)−sin2(x)
limx→0
	x2

	−cos(x)(1−cos(x))−sin2(x)
limx→0
	x2

	−cos(x)(1−cos(x))(1+cos(x))		sin2(x)
limx→0		−limx→0
	x2(1+cos(x))		x2

	sin2(x)	cos(x)		sin2(x)
−limx→0			−limx→0
	x2	1+cos(x)		x2

	1		3
=−		−1=−
	2		2

Metis: Dzięki Mariusz

jc: Mariusz, spróbuj lepiej policzyć moją całkę.

Mariusz: ∫cos²ⁿ(x)dx=sin(x)cos²ⁿ⁻¹(x)−∫sin(x)(2n−1)cos²ⁿ⁻²(x)(−sin(x))dx ∫cos²ⁿ(x)dx=sin(x)cos²ⁿ⁻¹(x)+(2n−1)∫cos²ⁿ⁻²(x)sin²(x)dx ∫cos²ⁿ(x)dx=sin(x)cos²ⁿ⁻¹(x)+(2n−1)∫cos²ⁿ⁻²(x)(1−cos²(x))dx ∫cos²ⁿ(x)dx=sin(x)cos²ⁿ⁻¹(x)+(2n−1)∫cos²ⁿ⁻²(x)dx−(2n−1)∫cos²ⁿ(x)dx 2n∫cos²ⁿ(x)dx=sin(x)cos²ⁿ⁻¹(x)+(2n−1)∫cos²ⁿ⁻²(x)dx ∫dx=x

	1		2n−1
∫cos2n(x)dx=		sin(x)cos2n−1(x)+		∫cos2n−2(x)dx
	2n		2n

To da dam wzór rekurencyjny

Adamm:

	(2n−1)! !
∫0πcos2nxdx =		*π dla n≥1
	(2n)! !

lolek: ∫x² sinx = 2xsinx − ( x² −2)cosx

jc: Adamm,

	1		1		2n 2
cos2n x =		(eix+e−ix)2n =		(... +		+ ... )
	4n		4n

Całki z opuszczonych składników dają zero.

	2n n		2π
Wynik =
			4n

jc:

	2n n
Oczywiście ... +		+ ... (środkowy wyraz wzorze na potęgę sumy).

Pozostałe wyrazy e^i(2n−k)xe^−ikx = e^i(2n−2k) można połączyć w pary postaci 2 cos 2(n−k)x.

Adamm: jc, twój wynik już dla n=1 się nie zgadza

jc:

	2 1		2π		2*2 π
Dla n = 1 mamy π. Mój wzór daje				=		= π, czyli to samo.
			4		4

Adamm:

	π
dla n=1 mamy
	2

	2n 2		2π
czy może twój wzór to jednak		*		?
			4n

jc: No dobrze, miało być ∫₀^2π cos²ⁿ x dx. Teraz zauważyłem, że gdzieś mi umknęła liczba 2. No to należy usunąć 2 z licznika i będzie dobrze. Całki z cos 2m x dla m≠0 od 0 do π również znikają.

KKrzysiek: @Metis

	cos2x−cosx
limx−>0		= limx−>0
	sin2x

	2x+x   2x−x   −2sin sin   2   2
		=limx−>0
	sin2x

−2sin(3x/2) *(3x/2)   sin(x/2)*(x/2)   * (3x/2)   (x/2)
	=
sinx   ( *x)2   x

	−3
	2

Wystarczy skorzystać ze wzoru na różnice cosinusów.

KKrzysiek: U mnie byś tego nie policzył z hospitala, dostałbym prawdopodobnie, a raczej na pewno 0 pkt za to.