Wielomian jest podzielony przez dwumian Damian: Wielomian w(x)=3x³+(a+b)x²−27x+a−4b jest podzielny przez dwumian x−2, a resta z dzielenia przez dwumian x−1 jest równa 24. Oblicz a i b oraz wyznacz pierwiastki tego wielomianu

Dezyderiusz: na początku dzielisz wielomian przez dwumian (x−2): 3x² + (a+b+6)x + (2a+2b−15) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 3x³ + (a+b)x² − 27x + (a−4b) : (x−2) −3x³ + 6x² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− == (a+b+6)x² − 27x −(a+b+6)x² + 2(a + b +6)x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ========= (2a + 2b − 15)x + (a−4b) −(2a + 2b − 15)x + 2(2a + 2b −15) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ============= 4a +4b −30 + a − 4b wiemy, że jeżeli wielomian dzieli się przez dwumian to nie zostawia reszty zatem: 4a + 4b − 30 + a −4b=0 5a − 30 = 0 a = 6 teraz dzielimy wielomian przed drugi dwumian czyli (x−1): 3x² + (a+b+3)x + (a + b −24) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 3x² + (a+b)x² − 27x + (a−4b) : (x−1) −3x² + 3x² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ==== (a + b + 3)x² − 27x −(a + b + 3)x² + (a + b +3)x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ============ (a + b −24)x + (a − 4b) −(a + b −24)x + (a + b −24) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ========== a − 4b + a + b −24 wiemy że reszta z dzielenia przez (x−1) jest równa 24 więc: a − 4b + a + b − 24 = 24 2a −3b − 24 = 24 pod "a" wstawiamy 6: 12 − 3b − 24 = 24 −3b = 36 / (−3) b=−12

Eta: Ale się opisałeś z treści zadania : W(2)=0 i W(1)=24 W(2)= 24+4a+4b−54+a−4b=0 ⇒ .... a=6 W(1)=3+a+b−27+a−4b=24 ⇒ ... b=−12 to W(x)=3x³−6x²−27x+54 = 3(x³−2x²−9x+18) = 3(x−2)(x²−9) = 3(x−2)(x−3)(x+3) x₁=2 , x₂= 3, x₃= −3 ==========================