Monotoniczność funkcji i jej ekstrema
JJ: Mam problem z określeniem czy funkcja na danym przedziale jest rosnąca, czy też malejąca.
W przypadku prostych wielomianów nie mam z tym problemów, jednak czasami przy funkcjach typu:
f(x) = ln2x + 1/lnx nie wiem jak się do tego zabrać.
Polecenie: Zbadaj monotoniczność i ekstrema funkcji.
1)Wyznaczam dziedzinę funkcji
2)Wyznaczam pierwszą pochodną funkcji
Do tego momentu problemu nie ma. Pojawia się on natomiast, gdy trzeba zbadać znak pochodnej.
f'(x) = 1/x(1 − 1/(lnx)2)
Jakieś wskazówki ?
3 lut 12:50
Omikron: Sprowadzaj zawsze do wspólnego mianownika, tak by mianownik był podniesiony do parzystej
potęgi. Wtedy wystarczy zbadać znak licznika.
3 lut 12:58
JJ: Czyli zadanie ma wyglądać następująco ?
Dziedzina funkcji to (0;1)U(1;+∞)
f'(x) = ((lnx)2 − 1)/x*(lnx)2
Badam znak pochodnej: f'(x) > 0, f'(x) < 0, f'(x) = 0. Wystarczy sprawdzić np. pierwszy warunek
((lnx)2 − 1)/x*(lnx)2 > 0 /mnożę przez x*(lnx)2 bo (lnx)2 > 0 oraz z dziedziny wiemy, że x
> 0
Miejsca zerowe to x = e oraz x = 1/e. Zaznaczam je na osi liczbowej, nakładam dziedzinę i
rysuje od prawej od góry, ponieważ (lnx)2 w +∞ jest funkcją rosnącą, tak ?
Przepraszam za okropny zapis, próbowałem używać ułamków u {}{}, ale stawało się wszystko
jeszcze bardziej zagmatwane.
3 lut 13:24
Jerzy:
Jaka jest Twoja funkcja ?
3 lut 13:25
JJ: f(x) = ln2x + 1/lnx
3 lut 16:29
JJ: .
3 lut 19:05
JJ: .
8 lut 15:20
Jerzy:
| | 1 | | 1 | | ln2x − 1 | |
f'(x) = |
| − |
| = |
| |
| | x | | xln2x | | xln2x | |
i badasz znak pochodnej na podanym przedziale.
8 lut 15:23
JJ: Rozumiem. Do tego momentu potrafię dojść tak jak pisałem w pierwszym poście. Problem pojawia
się przy badaniu znaku takiej pochodnej.
Miejsca zerowe to x = e oraz x = 1/e. Zaznaczam je na osi liczbowej, nakładam dziedzinę.
Wnioskuję z wykresu funkcji ln2x, że w przedziale (0;1> jest malejąca a w przedziale <1;+∞)
jest rosnąca, dlatego rysujemy od góry idąc od prawej. Czy jest to poprawna interpretacja ?
8 lut 19:35
JJ: Ktoś podpowie ?
12 lut 00:12