Dla jakiego parametru A funkcja jest rozniczkowalna Dragon: Dla jakiego parametru A funkcji f jest rozniczkowalna, gdy

	⎧	x2e−x{2} gdy x≤1
f(x) =	⎨
	⎩	1/e + Ax2 gdy x>1

Ogolnie to probowalem policzyc z definicji lim Δx→0, czyli

	f(1−Δx) −f(1)
lim Δx→0−
	Δx

	(1−Δx)2*e−(1−Δx) −12e−1
lim Δx→0−
	Δx

	e−1 −1
po dalszych przeksztalceniach i podstawieniu 0 dochodze do postaci lim Δx→0−
	0

= ∞ Nie rozumiem za bardzo tego zadania moglby ktos wytlumaczyc?

Dragon: Probowalem tez podstawic po prostu pod funkcje z lewej strony jedynki i wyszlo 1/e, potem pod funkcje z prawej strony jedynki i wychodzilo 1/e+A Przyrównałem te dwie granice i z tego wyniklo ze A=0. Nie mam pojecia czy tak mzoe byc.

Dragon: Up, pomoze ktos?

Pytający: Napisz jeszcze raz wzór f(x) gdy x≤1 (klamry przy 2 sugerują jakieś zagmatwanie).

Janek191: A = 0 II wersja

Janek191: f(x) = x²*e^−x2 dla x ≤ 1 ?

Dragon: Wartosci bezwzgledne prze nierownosciach, nwm czemu nie ma jak wpisywalem. Nie wystarczy obliczyc A=0 trzeba cos jeszcze nwm co

Pytający: czyli f(x) = x²e^−x2 dla x ≤ |1|

	1
f(x) =		+ Ax2 dla x > |1|
	e

Dragon: |x|<=1 |x|>1

Pytający: O to mi chodziło. Funkcja f(x) jest różniczkowalna na ℛ\{−1,1} jako złożenie funkcji elementarnych. pochodna lewostronna w −1: https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+as+h-%3E0%5E-+of+(1%2Fe%2Bb(-1%2Bh)%5E2-1%2Fe-b(-1)%5E2)%2Fh lim_x→−1⁻ f(x) = −2A pochodna prawostronna w −1: https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+as+h-%3E0%5E%2B+of+((-1%2Bh)%5E2e%5E(-(-1%2Bh)%5E2)-(-1)%5E2e%5E(-(-1)%5E2))%2Fh lim_x→−1⁺ f(x) = 0 pochodna lewostronna w 1: https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+as+h-%3E0%5E-+of+((1%2Bh)%5E2e%5E(-(1%2Bh)%5E2)-1%5E2e%5E(-(1)%5E2))%2Fh lim_x→1⁻ f(x) = 0 pochodna prawostronna w 1: https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+as+h-%3E0%5E%2B+of+(1%2Fe%2Bb(1%2Bh)%5E2-1%2Fe-b*1%5E2)%2Fh lim_x→1⁺ f(x) = 2A Aby f(x) była różniczkowalna w −1 i 1 musi mieć w tych punktach skończone pochodne, więc: −2A=0 ∧ 0=2A ⇒ A=0 Poza tym jeśli rozważysz: g(x)=x²e^−x2, x∊ℛ

	1
h(x)=		+Ax2, x∊ℛ
	e

to g(x) i h(x) są różniczkowalne na ℛ jako złożenie funkcji elementarnych, więc możesz liczyć pochodną nie z definicji i podstawić odpowiednio 1, −1. Tak mi się przynajmniej wydaje.

Dragon: Dzieki, czyli zeby sprawdzic czy jest rozniczkowalna musze policzyc dla jakiego parametru jest ciagla w tym wypadku A=0, oraz policzyc jej granice stronne? Co mam odczytac z tych granic?

Pytający: W zasadzie najpierw możesz upewnić się co do ciągłości funkcji w danym punkcie, bo jest to warunek konieczny różniczkowalności (ale nie wystarczający). Tzn.: f(x) różniczkowalna w a ⇒ f(x) ciągła w a w drugą stronę to nie działa, tj. f(x) może być ciągła w a, ale mimo to nie jest różniczkowalna w a Funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie a, jeśli ma skończoną (≠ +/− ∞) pochodną w tym punkcie. Czyli: jeśli

	f(a+h)−f(a)		f(a+h)−f(a)
limh−>0−		= limh−>0+		= g ∧ g∊(−∞,∞)
	h		h

to f(x) jest różniczkowalna w punkcie a.

Dragon: O to mi chodzilo dziekuje bardzo za pomoc.