Rownania rozniczkowe
Jack: Moglbym prosic o mala rade ?
y' + 2y = e
x
To zamieniam
I wlasciwie nwm co zrobic bo takich przykladow jeszcze nie liczylem.
Zatem moglby ktos podpowiedziec malutki krok?
2 lut 14:31
Jerzy:
To równanie liniowe niejednorodne.
Istnieje schemat rozwiązywania tego typu równań, ale dla lepszego zrosumienia,
proponuję Ci " krok po kroku"
Najpierw rozwiąż równanie: y' + 2y = 0
2 lut 14:37
Jack: Ok
No to z tego
y' + 2y = 0
Otrzymuje
y = c * e−2x
2 lut 14:41
Jack: Mozna wiedziec co dalej ?
2 lut 14:44
Jerzy:
Dobra, teraz uzmienniamy stałą: y = C(x)*e−2x
Policz pochodną: y'
2 lut 14:44
Jack: Uzmienniamy stala... Mozna tak ?
To pochodna wtedy :
y' = (−2)e
−2x* C'(x)
Nwm co z tym C'(x)
2 lut 14:46
Jerzy:
y' = C'(x)*e−2x −2*C(x)*e−2x
teraz podstaw do równania wyjściowego
2 lut 14:48
Jack: Albo nie. Uzmienniona stala to jak druga funkcja czy nadal stala?
Raczej nadal stala... Czyli bedzie po prostu C(x) a nie C'(x)?
2 lut 14:48
Jack: Ok wisze ze jako funkcję to potraktowalismy
2 lut 14:49
Jack: A za zwyklego igreka cos podstawic?
2 lut 14:50
Jerzy:
y już masz policzone: y = C(x)*e−2x i to wstawiaj.
2 lut 14:52
Jack: Oki.
To mam
C'(x)*e−2x − 2*C(x)*e−2x + 2*C(x)*e−2x = ex
2 lut 14:54
Jack: O kurcze, skroci sie. Tak jest zawsze?
Zostaje :
C'(x)*e
−2x = e
x
2 lut 14:56
Jerzy:
Teraz ważny moment.. zawsze: y = C(x)P(x zredukuje Ci sie do zera,
jeśli nie, to znaczy, ze juz masz bład w obliczeniach
Zredukuj.
2 lut 14:57
Jerzy:
Widzę,ze sam na to wpadłeś ... tak, tak jest zawsze
2 lut 14:58
Jack: Ok super
Tylko pytanie co dalej
2 lut 14:59
Jack: Calkowac C'(x)?
2 lut 15:00
Jerzy:
Teraz już prosto:
i całkujesz obustronnie.
2 lut 15:00
2 lut 15:02
Jerzy:
Sorry.... moja pomyłka, ale
Jack by to wychwycił
2 lut 15:03
2 lut 15:03
Jerzy:
| | 1 | |
Dobra ... i po zadaniu: y = ( |
| e3x + C)*e−x |
| | 3 | |
Teraz sam zpróbuj ustalić schemat .
2 lut 15:06
Jerzy:
na końcu: e
−2x czywiście
2 lut 15:07
Jack:
1) liczymy rownanie dla jednej zmiennej?
Tzn. Reszte dajemy jako 0 na poczatek.
2) uzmienniamy stala
3) liczymy pochodna
4)podstawiamy wszystko do rownania głównego
5) koniec
2 lut 15:09
Jack: Co jakbym zamiast y' mial y"?
Wtedy po uzmiennieniu zmiennych licze pochodna i potem jeszcze druga pochodna?
2 lut 15:11
Jack: Oczywiscie dziekuje za pomoc !
2 lut 15:13
Jerzy:
Tak , ale schemat jest taki:
Mamy równanie: y' + p(x)*y = f(x)
Od razu odgadujemy: y = C(x)*e−P(x) , gdzie P(x) jest funkcją pierwotną funkcji p(x)
Potem: C'(x)*e−P(x) = f(x) ⇔ C'(x) = f(x)*eP(x) i C(x) = ∫f(x)*eP(x)
2 lut 15:16
Jerzy:
Jeśli jest y" , to są to równania drugiego stopnia i tutaj jest już kilka metod,
zeleżnie od postaci równania.
2 lut 15:17
Jack: Oki dzieki
2 lut 15:21