Wykaż indukcyjnie
zumii: Wykaż, że dla każdego n≥3:
1n+1 + 1n+2 + ...+ 12n > 35
2 lut 12:45
Saizou :
n=3
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
L = |
| + |
| + |
| = |
| + |
| + |
| = |
| | 3+1 | | 3+2 | | 3+3 | | 4 | | 5 | | 6 | |
| | 30+24+20 | | 74 | | 37 | | 3 | | 36 | |
= |
| = |
| = |
| > |
| = |
| |
| | 120 | | 120 | | 60 | | 5 | | 60 | |
Założenie indukcyjne
Zakładamy prawdziwość dla pewnego k ≥ n,
| 1 | | 1 | | 1 | | 3 | |
| + |
| + ... + |
| > |
| |
| k+1 | | k+2 | | 2k | | 5 | |
Teza indukcyjna
Pokażemy, że zachodzi nierówność
| 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 3 | |
| + |
| + ... + |
| + |
| > |
| |
| k+1 | | k+2 | | 2k | | 2k+1 | | 5 | |
Dowód tezy indukcyjnej
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 3 | | 1 | | 3 | |
L = |
| + |
| + ... + |
| + |
| > |
| + |
| > |
| = P |
| | k+1 | | k+2 | | 2k | | 2k+1 | | 5 | | 2k+1 | | 5 | |
Zatem na mocy indukcji skończonej mamy, że zdanie
| 1 | | 1 | | 1 | | 3 | |
| + |
| + ... + |
| > |
| |
| k+1 | | k+2 | | 2k | | 5 | |
jest prawdziwe dla k=n ≥ 3
2 lut 12:58
zumii: Dziękuję! Ale czy w dowodzie tezy nie powinniśmy podstawiać od początku :
1k+1+1 + 1k+1+2 ...? Czyli wszystkiego dla k+1?
2 lut 13:06
Saizou :
tak powinniśmy juz poprawiam
T:
| | 1 | | 1 | | 3 | |
L = |
| +....+ |
| > |
| |
| | k+2 | | 2k+1 | | 5 | |
Dowód:
| | 1 | | 1 | | 1 | | 3 | | 1 | | 1 | |
L = |
| +.... + |
| + |
| > |
| − |
| + |
| |
| | k+2 | | 2k | | 2k+1 | | 5 | | k+1 | | 2k+1 | |
| | 1 | | 1 | |
Łatwo pokazać ze |
| > |
| dla k ≥ 3 |
| | k+1 | | 2k+1 | |
2 lut 13:15
Adamm: | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
Saizou, L= |
| +...+ |
| + |
| + |
| |
| | k+2 | | 2k | | 2k+1 | | 2k+2 | |
2 lut 13:18
zumii: A wyjaśnisz jeszcze dlaczego po prawej stronie odejmujemy 1k+1 i z czego wynika ostatnia
nierówność?
2 lut 13:19
zumii: Rzeczywiście! 2(k+1) = 2k+2
2 lut 13:20
jc: Ciągle źle.
Nowa suma = stara suma + 1/(2n+1)+1/(2n+2)−1/n < stara suma < 3/5
1/(2n+2)+1/(2n+2) < 1/n.
2 lut 13:21
Saizou :
skupmy się w końcu
T:
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
L = |
| + ... + |
| + |
| + |
| > |
| | k+2 | | 2k | | 2k+1 | | 2k+2 | |
| | 3 | | 1 | | 1 | | 1 | |
> |
| − |
| + |
| + |
| |
| | 5 | | k+1 | | 2k+1 | | 2k+2 | |
wystarczy pokazać, ze
| 1 | | 1 | | 1 | |
| > |
| + |
| dla k ≥ 3 |
| k+1 | | 2k+1 | | 2k+2 | |
Odejmujemy ponieważ korzystamy z założenia
| 1 | | 1 | | 1 | | 3 | |
| + |
| + ... + |
| > |
| |
| k+1 | | k+2 | | 2k | | 5 | |
| 1 | | 1 | | 3 | | 1 | |
| + ... + |
| > |
| − |
| |
| k+2 | | 2k | | 5 | | k+1 | |
mam nadzieję , ze teraz jest oki
2 lut 13:26
Adamm: tą nierówność można łatwo wykazać bez indukcji
wystarczy udowodnić że ciąg jest rosnący
2 lut 13:26
Adamm: | | 1 | | 1 | | 1 | |
Saizou, |
| + |
| > |
| |
| | 2k+1 | | 2k+2 | | k+1 | |
2 lut 13:29
jc: Ciąg jest malejący.
Nie zauważyłem, że nierówność jest w drugą stronę więc mój rachunek niczego nie dowodzi.
2 lut 13:30
zumii: Już rozumiem, bardzo dziękuję!
2 lut 13:31
jc:
Faktycznie, suma zaczyna się od 1/(n+1), nie od 1/n, jak mi się zdawało.
Dopisując na dole, nie widzę zadania.
Lepiej zrobić przejście od n−1 do n.
Suma(n) = Suma(n−1) + 1/(2n−1) + 1/(2n) − 1/n =
Suma(n−1) + 1/(2n−1) − 1/(2n) > Suma(n−1)
Ciąg rosnący.
2 lut 13:34
Adamm: | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
| +...+ |
| + |
| −( |
| +...+ |
| )= |
| k+2 | | 2k+1 | | 2k+2 | | k+1 | | 2k | |
| 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
| + |
| − |
| >0 ⇔ |
| + |
| > |
| ⇔ |
| 2k+1 | | 2k+2 | | k+1 | | 2k+1 | | 2k+2 | | k+1 | |
⇔ 2k+2+2k+1>4k+2 ⇔ 3>2
ciąg jest rosnący
2 lut 13:36
zumii: Jedno pytanie tylko: czy założenie 12k+1 + 12k+2 > 1k+1 czy na odwrót jednak?
2 lut 13:42
