Całki Justyna: Witam, jak obliczyc podana calke? ∫sinxtgx Dziekuje z gory za jakakolwiek podpowiedz.

jo: Pierwsze całkować przez części a następnie przez podstawianie...

AS:

	sinx		sin2x		1−cos2x
J = ∫sinxtgxdx = ∫sinx*		dx = ∫		dx = ∫		dx
	cosx		cosx		cosx

	dx		dx
J = ∫		− ∫cosxdx = ∫		− sinx + C
	cosx		cosx

	dx
J = J1 −sinx + C gdzie J1 = ∫
	cosx

Obliczam całkę J1 Stosuję podstawienie tg(x/2) = u ⇒ x/2 = arctg(u) ⇒ x = 2*arctg(u)

	cos2(x/2) − sin2(x/2)		1 − tg2(x/2)
cosx =		=
	cos2(x/2) + sin2(x/2)		1 + tg2(x/2)

	1 − u2		2du
cosx =		dx =
	1 + u2		1 + u2

	1		2		du
J1 = ∫		*		du = 2∫
	1−u2   1+u2		1+u2		1−u2

	1
Rozpisuję ułamek		na dwa ułamki proste
	1−u2

1		A		B
	=		+
1 − u2		1 − u		1 + u

1		A*(1 + u)+ B*(1 − u)
	=
1 − u2		1 − u2

1		(A + B) + u*(A − B)
	=
1 − u2		1 − u2

Porównując liczniki mamy A + B = 1 i A − B = 0 ⇒ A = 1/2 i B = 1/2

1		1		1		1		1
	= =		*		+		*		=
1 − u2		2		1 − u		2		1 + u

	1		1		1
		*(		+		)
	2		1 − u		1 + u

	1		1		1		1		1
J1 = 2*		*∫(		+		)du = ∫(		+		)du
	2		1 − u		1 + u		1 − u		1 + u

	1 + u		1 + tg(x/2)
J1 = −ln(1 − u) + ln(1 + u) = ln		= ln
	1 − u		1 − tg(x/2)

Całka poszukiwana

	1 + tg(x/2)
J = ln		− sinx + C
	1 − tg(x/2)