Funkcja Maciek: Zbadać ciągłość i różniczkowalność:

	⎧	xsin(1/x), dla x≠0
f(x)=	⎩	0, dla x=0

Adamm: lim_x→0xsin(1/x) = 0 zatem jest ciągła

	cos(1/x)
(xsin(1/x))'=sin(1/x)−		pochodna na pewno istnieje wszędzie oprócz x=0
	x

	xsin(1/x)−0
limx→0		= limx→0 sin(1/x) a ta granica nie istnieje
	x−0

funkcja jest ciągła dla x∊ℛ, różniczkowalna dla x∊ℛ\{0}

g: Funkcja jest ciągła dla x=0, bo ∀ ε>0: |f(ε)−f(0)| ≤ ε f ' (x) = sin(1/x) − cos(1/x) / x nie istnieje granica lim_x→0 f ' (x) więc pochodna nie istnieje dla x=0.

jc: g, to że nie istnieje granica f'(x) przy x →0, nie oznacza, że funkcja nie jest różniczkowalna w zerze. Spójrz na podobny przykład. f(x) = x² sin (1/x), x ≠ 0, f(0)=0. Funkcja f jest różniczkowalna w zerze, ale granica f ' (x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x) w zerze nie istnieje.

Maciek: Dzięki za odpowiedzi

g: jc: to w takim razie ile wynosi f ' (0) Twojej funkcji?

	ε2sin(1/ε)
z definicji to by było zero: limε→0		= 0 ale to bardzo dziwne.
	ε

Adamm: dziwne jest to że funkcja może mieć pochodną która nie jest ciągła?

g: dla mnie to jest dziwne, choć oczywiście niczego tu nie kwestionuję. Dziwność bierze się z tego że trudno sobie wyobrazić jakąś fizyczną interpretację.

jc:

	f(h) − f(0)
h→0,		= h sin(1/h) →0
	h