analiza matematyczna kropka: 1.Uzasadnij, że funkcja f określona wzorem f(x) = 2x⁴ − 5x³ + x² − x − 1 ma w przedziale (−1;3) co najmniej dwa miejsca zerowe. 2.Uzasadnij, że równanie x(x² + 12)=6(x² + 1) ma dokładnie jedno rozwiązanie

Adamm: 1. f(−1)=2+5+1+1−1=8 f(0)=−1 f(2)=32 na mocy tw. Bolzano−Cauchy'ego istnieją takie c₁∊(−1;0) oraz takie c₂∊(0;2) że f(c₁)=0 oraz f(c₂)=0 2. f(x)=x(x²+12)−6(x²+1) f(0)=−6 f(1)=1 na mocy tw. Bolzano−Cauchy'ego istnieje taki c∊(0;1) że f(c)=0

Adamm: 2 jest źle, zaraz poprawię

Adamm: 2. f(x)=x(x²+12)−6(x²+1)=x³−6x²+12x−6 f'(x)=3x²−12x+12 f'(x)>0 dla x²−4x+4>0 czyli dla x∊ℛ\{2} ponieważ funkcja f jest ściśle rosnąca, a f(0)=−6 oraz f(1)=1 to na mocy tw. Bolzano−Cauchy'ego istnieje taki c∊(0;1) że f(c)=0, z monotoniczności funkcji wiemy że jest to jedyna taka wartość dla której f(x)=0

kropka: Dziękuję serdecznie, nie znałam tych twierdzeń.