Czy przez proste l1 i l2 mozna poprowadzic plaszczyzne Marta: Czy przez proste l1: { x=t y=4t z=t } lt: { x = 1 + s y = 1 + s z = 1 + s } mozna poprowadzic plaszczyzne?

Adamm: pierwsza prosta r(t)=t*[1; 4; 1], druga l(s)=s*[1; 1; 1] liczymy [1; 4; 1]x[1; 1; 1] = [3; 0; −3] (1; 1; 1)∊l zatem 3(x−1)+0(y−1)+(−3)(z−1)=0 3x−3z=0 byłaby naszą szukaną płaszczyzną oczywiście spełnia pierwszą prostą, podstawiając x=t, y=4t, z=t widzimy że drugą również odp. można

Marta: Dziekuje za szybka odpowiedz. Czyli 3x−3x=0 to rownanie tej plaszczyzny. Mam jeszcze jeden przyklad:

	⎧	x=1+t
l1:	⎨	y=1+t
	⎩	z=1+2t

	⎧	x=2s
l2:	⎨	y=2s
	⎩	z=4s

Sprawdzic czy mozna poprowadzic plaszczyzne, jesli tak to wyznaczyc jej rownanie. Wychodzi na to, ze pierwsza prosta to [1,1,1] a druga to [2,2,4] Potem wymnozyc te dwa wektory i potem tylko podstawic pod wzor plaszczyzny?

Adamm: proste są równoległe zauważ że (1; 1; 1)∊l₁ oraz (0; 0; 0)∊l₂ teraz mamy [1; 1; 1] jako wektor pomiędzy punktami należącymi do prostych, oraz [1; 1; 2] jako wektor kierunkowy prostych [1; 1; 1]x[1; 1; 2] = [1; −1; 0] płaszczyzna 1*(x−1)+(−1)(y−1)+0(z−1)=0 czyli x−y=0 sprawdzamy bezpośrednio, l₁ spełnia (podstaw x=1+t, y=1+t, z=1+2t) oraz l₂ również (x=2s, y=2s) zatem można poprowadzić przez nie płaszczyznę, równanie tej płaszczyzny to x−y=0

Jerzy: Tak ... n^→ = [2,−2,0] i P(1,1,1)

Jerzy: Mój n jest zły przyjąłem v₁ = [1,1,1] zamiast [1,1,2]

Marta: Podobny przyklad do poprzedniego mam nadzieje , ze juz rozumiem jak to robic:

	⎧	x=2+2t
l1:	⎨	y=2+2t
	⎩	z=2+4t

	⎧	x=s
l2:	⎨	y=s
	⎩	z=2s

proste takze sa rownolegle, l1: (2,2,2), l2: (0,0,0) wektor pomiedzy punktami to [2,2,2] <− nie wiem czy o to chodzi wlasnie a wektor kierunkowy to [2,2,4] [2,2,2,] x [2,2,4] = [4,4,0] i teraz podstawic pod wzor plaszczyzny?

Adamm: tak, wybierasz 2 punkty i bierzesz stąd wektor do twojego iloczynu wektorowego, potem wybierasz jeden z punktów i układasz z tego równanie płaszczyzny

Marta: czyli 4(x−2)+4(y−2)+0(z−2) = 0 4x−8+4y−8 = 0 4x + 4y − 16 = 0 ?

Adamm: źle policzony iloczyn wektorowy [4; −4; 0] wtedy równanie płaszczyzny to x−y=0

Marta: Zapomnialam, o minusie. Dziekuje bardzo za poswiecony czas A co, jezeli z iloczynu wektorowego wyjdzie mi [0,0,0]? Nie ma wtedy rownania?

	⎧	x=t
l1:	⎨	y=3t
	⎩	z=t

	⎧	x=1+2s
l2:	⎨	y=1+2s
	⎩	z=1+2s

l1: (0,0,0) l2: (1,1,1) wektor pomiedzy pkt: [1,1,1] wektor kierunkowy [2,2,2] [1,1,1]x[2,2,2]=[0,0,0] co wtedy?

Jerzy: Wzięłąś dwa wektory równoległe .

Adamm: tutaj proste już nie są równoległe wektory [1; 1; 1] oraz [2; 2; 2] są równoległe dlatego iloczyn jest wektorem zerowym zwyczajnie policz [1; 3; 1]x[1; 1; 1] tak jak w pierwszym zadaniu

Jerzy: I zacznijmy od tego ,że te proste nie są równoległe.

Marta: Okej, dziekuje Adamm i Jerzy za pomoc w rozwiazaniu i wytlumaczeniu zadania. [1,3,1]*[1,1,1]=[2,0,−2] π: A(x−x0) + B(y−y0) + C(z−z0) 2(x−1) + 0(y−1) −2(z−1) = 0 2x−2 − 2z + 2 = 0 2x−2x = 0 spr. l1: 2t−2t = 0 l2: 2(1+2s)−2(1+2s) = 0