zadanie optymalizacyjne Pati18773: W stożek obrotowy o promieniu podstawy R i wysokości H wpisany jest prostopadłościan w ten sposób że jego podstawa zawarta jest w podstawie stożka a wierzchołki drugiej podstawy należą do powoerzchni bocznej stożka. Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu jest równy 2. Oblicz długości krawędzi prostopadłościanu o największej objętości. nie wiem jak uzależnić od siebie dane

g: A o stosunek których krawędzi chodzi − obu w podstawie, czy jednej bocznej?

Pati18773: krawędzi podstawy *

Pati18773: W stożek obrotowy o promieniu podstawy R i wysokości H wpisany jest prostopadłościan w ten sposób że jego podstawa zawarta jest w podstawie stożka a wierzchołki drugiej podstawy należą do powoerzchni bocznej stożka. Stosunek długości krawędzi podstawy prostopadłościanu jest równy 2. Oblicz długości krawędzi prostopadłościanu o największej objętości. − taka treść zadania.

Pati18773: zrobiłam tak:

	2√5R
x2+(2x)2=(2R)2 => x=
	5

ale nie wiem czy to dobrze ?

g: Ale ten prostopadłościan ma się cały zmieścić w stożku, więc R z Twojego obrazka nie może być tym R z podstawy. Twoje R (niech będzie r) to promień stożka na wysokości h prostopadłościanu.

H−h		r
	=		(z Talesa)
H		R

	(H−h)*R
V = h*2x*x = h*2*(4/5)*r2 = (8/5)*h*(		)2
	H

Teraz trzeba znaleźć h maksymalizujące objętość V (pochodna po h = 0, itd.) Mając h wyznaczysz r, i w końcu x.

Pati18773: czyli przekrój stożka jest taki ? OS=H OB=R OP=h OL=r

g: Tak, z tym że OL=r tylko dla szczególnego przekroju zawierającego przekątną podstawy równoległoboku.

Pati18773: to jak ta podstawa będzie wyglądać ?

Pati18773: skąd się jeszcze wzieło to V = h*2x*x = h*2*(4/5)*r²

Jerzy: V − objętość prostopadłościanu: V = 2x*x*h

	4
Patrz na Twój rysunek: x2 + 4x2 = 4r2 ⇔ 5x2 = 4r2 ⇔ x2 =		r2
	5

Pati18773: a oki dzięki tylko nadal nie mogę zrozumieć jak jest z tym r

Pati18773:

	2
h=		H tak mi wyszło
	3

Pati18773: i już zrozumiałam czemu małe r

Jerzy: Nie może byc tak, jak narysowałaś. Dolny wierzchołek prostopadłościanu nie może pokrywać się z okręgiem podstawy. To co narysowałaś, to przekrój stożka na wysokości h i wtedy Twoje R , to r ( połowa przekatnej podstawy prostopadłościanu ).

Pati18773: wyszło tak:

	2√5
x=		R
	15

	4√5
2x=		R
	15

	2
h=		H
	3