przestrzeń spójna egzamin: Czy ℛ² z metryką rzeką jest przestrzenią spójną ? Wyjaśnij odpowiedź

egzamin: ?

egzamin: :(

Maslanek: Wydaje mi się, że tak. Przypuśćmy, że nie jest spójna. Wtedy istnieją niepuste, rozłączne zbiory U, V takie, że U∪V =R². To wtedy U = R²\V jest otwarty i domknięty (jako dopełnienie otwartego). Stąd U=∅, bo jedynym otwartym, domkniętym, niepustym zbiorem jest R². Istotnie, gdy P − domknięty, otwarty, niepusty i powiedzmy x∉P, to istnieje pewne d>0 takie, że d_rz(x,P)=d. Z domkniętości P (i zwartości {x}) mamy, że istnieje ciąg (y_n)⊂P taki, że d(x,y_n) → d(x, P). Ciąg (y_n) jest więc ograniczony, jego domknięcie też, więc z charakteryzacji zwartości w R^k mamy, że zawiera podciąg zbieżny do y∊R². Z domkniętości P wynika, że y∊P. Natomiast skoro P jest otwarty, to zawiera pewne otoczenie y. To daje sprzeczność z tym, że y realizuje odległość P od x. Z dowolności x mamy, że P=R².

Maslanek: Generalnie to ta domkniętość poniżej nie ma nic do rzeczy: "Z domkniętości P (i zwartości {x}) mamy, że istnieje ciąg (yn)⊂P taki, że d(x,yn) → d(x, P)." Powiedzmy, że miałaby w tym, że odległość jest niezerowa (gdy mamy tylko dwa domnięte zbiory, to może być zerowa − patrz wykresy y=0 i y=1/x).