Całki, całki, całki Metis: CAŁKUJEMY ! 1) Oblicz przez podstawienie. a) ∫(2x+1)⁷dx t=2x+1 dt=2dx dx=dt/2

	1		1		1		1
∫t7dt =		*		*t8+C =		*		*(2x+1)8+C
	8		2		8		2

?

Tripek: Tak, jakbyś miał trudniejsze to możesz szybko sprawdzić tutaj: http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=b44c10fb5b04993703be898b8da69949

karty do gry: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B1%2F16+*+(2x%2B1)%5E8+%2B+C%5D%27

zef: Metis bierz się za trudniejsze całki a nie takie podstawy !

Tripek: Jak znacie się na całkach dobrze to pomóżcie studentowi w potrzebie Całka:

	dx
∫
	(2−x)√1−x2

zef: Rozłóż to na ułamki proste

Tripek: Na ułamki proste z pierwiastkiem?

jc: Podstawienie x=2t/(1−t²)

	dt
daje całkę ∫
	t2−t+1

Lepiej sprawdź!

Metis:

	e2x
∫		dx
	1+e4x

t=e^2x , dobre podstawienie?

Tripek: Tak, wyjdzie Ci wtedy arctg

Smule: metis jak nie jestes pewien co do wyniku to wstaw na wolframalpha i zobacz czy zwróci ci prawidłową pochodną

Smule:

	x5dx
∫
	√1 − x2

działaj z tą całką ciekawe czy wykombinujesz

Smule:

	dx
∫
	x√2x + 1

przyklad nr. 2

Mariusz: Smule wystarczy podstawienie za pierwiastek t²=1−x² t²=2x+1

	dx
∫
	(2−x)√1−x2

√1−x²=(1−x)t 1−x²=(1−x)²t² (1−x)(1+x)=(1−x)²t² 1+x=(1−x)t² 1+x=t²−xt² x+xt²=t²−1 x(t²+1)=t²−1

	t2−1		2
x=		=1−
	t2+1		t2+1

	2t2+2−t2+1		t2+3
2−x=		=
	t2+1		t2+1

	2t
(1−x)t=
	t2+1

dx=(−2)(−1)(t²+1)⁻²(2t)dt

	4t
dx=		dt
	(t2+1)2

	t2+1	t2+1	4t
∫				dt
	t2+3	2t	(t2+1)2

	dt
2∫
	t2+3

Tripek właśnie od takich łatwych całek powinno się zaczynać Schemacik na całki z funkcji wymiernych

	L(x)
∫		dx
	M(x)

0. Skracasz licznik z mianownikiem w funkcji podcałkowej Przydatny tutaj będzie NWD wielomianów który można policzyć bez znajomości rozkładu wielomianu na czynniki , wystarczy brać reszty z kolejnych dzieleń 1. deg L(x)≥ deg M(x) Dzielisz licznik przez mianownik L(x)=W(x)M(x)+R(x)

	L(x)		R(x)
∫		dx=∫W(x)dx+∫		dx
	M(x)		M(x)

2. deg R(x)< deg M(x) ⋀ gcd(M(x),M'(x))≠const (* Mianownik posiada pierwiastki wielokrotne , także zespolone*)

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₁(x)=NWD(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) deg R₁(x)< deg M₁(x) deg R₂(x)< deg M₂(x) Liczniki R₁(x) oraz R₂(x) obliczamy metodą współczynników nieoznaczonych Za współczynniki wielomianów bierzemy współczynniki literowe i różniczkujemy równość

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

aby je wyznaczyć 3. deg R(x)< deg M(x) ⋀ gcd(M(x),M'(x))=const Niech M₂(x)=(x−a₁)(x−a₂)*...*(x−a_k) (x²+p₁x+q₁)(x²+p₂x+q₂)*...*(x²+p_mx+q_m)

	R2(x)		A1		A2		Ak
∫		dx=∫		dx+∫		dx+...+∫		dx
	M2(x)		x−a1		x−a2		x−ak

	B1x+C1		B2x+C2
+∫		dx+∫		dx+...+
	x2+p1x+q1		x2+p2x+q2

	Bmx+Cm
∫		dx
	x2+pmx+qm

	Bx+C
∫		dx
	x2+px+q

Sprowadzasz trójmian w mianowniku do postaci kanonicznej

	Bx+C
∫		dx
	p   p2   (x+ )2+q−   2   4

	p		p2
Stosujesz podstawienie (x+		)2=(q−		)t2
	2		4

Otrzymujesz całkę

	Mt+N		M		2t		1
∫		dt=		∫		dt+N∫		dt
	t2+1		2		t2+1		t2+1

	2t
Do policzenia całki ∫		dt
	t2+1

można zastosować podstawienie u=t²+1