Granica Omlet: Wykazać,że ciąg zadany rekurencyjnie ,jak następuje jest zbieżny i znaleźć jego granicę : a₁=³₂ a_n=√3a_n−1−2 ,n≥2

Benny: Pokaż, że jest ograniczony i monotoniczny.

Adamm:

	2
najpierw załóżmy że skończona granica istnieje i wynosi ona g≥
	3

musi wtedy spełniać zależność g=√3g−2 czyli g²−3g+2=0 g=1 lub g=2 0≤a_n, oczywista nierówność 1. a₁≤2 2. załóżmy że a_n≤2 3. a_n+1=√3a_n−2≤√4=2 zatem na mocy indukcji a_n≤2 dla każdego n korzystając z tego że 0≤a_n≤2 spróbujemy wykazać że ciąg jest rosnący

	−an2+3an−2
an+1−an=√3an−2−an=
	√3an−2+an

−a_n²+3a_n−2≥0 dla a_n∊<1;2> zatem funkcja jest rosnąca dla a_n∊<1;2>, korzystając z tego że a₁=3/2 widzimy że ciąg rośnie, a ponieważ jest również ograniczony, to jest zbieżny do swojej granicy równej 2 (jest ograniczony z dołu przez 3/2)