Algebra JJ: Zbadać, które z następujących podzbiorów R² lub R³ są podprzestrzeniami wektorowymi. Czy mógłby ktoś sprawdzić, czy wykonałem poprawnie zadanie ? A = { (x,y,z) : x² + y² ≥ 0 } u = (x₁, y₁, z₁) ∊ A : x₁² + y₁² + z₁² ≥ 0 v = (x₂, y₂, z₂) ∊ A : x₂² + y₂² + z₂² ≥ 0 u + v = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂) ∊ A ⇔ (x₁ + x₂)² + (y₁ + y₂)² ≥ 0 L = x₁² + y₁² + z₁² + x₂² + y₂² + z₂² + 2*x₁*x₂ + 2*y₁*y₂ I tutaj pojawia się problem jak to zinterpretować. Czy wystarczy zapisać x₁² + y₁² + z₁² ≥0 i x₂² + y₂² + z₂² ≥ 0, natomiast nie wiemy jaki będzie znak całego wyrażenia po dodaniu 2*x₁*x₂ + 2*y₁*y₂, zatem nie jest to podprzestrzeń. Chyba, że jest możliwość aby udowodnić, że będzie to ≥ 0, ewentualnie nie będzie szukając jakiś kontrprzykładów ?

b.: Zastanów się może, dla jakich x,y,z rzeczywistych zachodzi nierówność x²+y²≥0.

JJ: Ojj, wkradł się błąd. Przy wektorku u, v i na dole po frazie "Czy wystarczy zapisać.." nie powinno być tej współrzędnej "zetowej". Dla każdych x,y,z zachodzi ta nierówność, ale co nam ta wiedza daje ?

JJ: H = { (x,y) : y=−1} u = (x₁, y₁) ∊ H więc y₁=−1 v = (x₂, y₂) ∊ H więc y₂=−1 u+v = (x₁+x₂, y₁+y₂) ∊ H ⇔ y₁ + y₂ = −1 L = y₁+y₂ = −1−1 = −2 ≠ −1 → Podany zbiór podprzestrzenią nie jest. Dobrze ?

JJ: 11:12 (x₁ + x₂)² + (y₁ + y₂) zawsze będzie większe lub równe 0, niepotrzebnie korzystałem ze wzoru skróconego mnożenia wprowadzając niepotrzebny zamęt. Czy mam rację ? Jeżeli tak to teraz sprawdzam, czy zbiór A jest zamknięty ze względu na mnożenie. (α*x₁)² + (α*y₁)² ≥ 0 → jest to prawda dla każdej α∊R Z tego, że u + v ∊ A oraz α * u ∊ A wynika również, że wektor zerowy (0,0,0) również musi należeć do tego zbioru, więc zbiór A jest podprzestrzenią wektorową. Czy jest to poprawne rozwiązanie ?

JJ: .