metoda czynnika calkujacego ohno: rachunek rozniczkowy 2x²y' + y = 4 prosilbym o pokazanie jak to rozwiazac metoda czynnika całkujacego

piotr: http://xaal66.blogspot.com/2013/02/rozwiazywanie-rownan-ozniczkowych.html

Mariusz: P(x,y)=y−4 Q(x,y)=2x²

1		δP		δQ
	(		−		)
Q		δy		δx

1
	(1−4x)
2x2

1		2
	−
2x2		x

	1
−		−2ln|x|
	2x

	1
μ(x)=		e−1/(2x)
	x2

(y−4)dx+2x²dy=0

	1	1
μ(x,y)=
	y−4	x2

ohno: widzialem ten artykuł aczkolwiek nie pomógł mi w zrobieniu tą metodą podanego przeze mnie przykładu

Mariusz: Masz dwa czynniki całkujące więc wystarczy je tylko podzielić

Mariusz:

	1   e−1/(2x) x2
F(x,y)=
	1 1   y−4 x2

	1
F(x,y)=		e−1/(2x)x2(y−4)=0
	x2

F(x,y)=(y−4)e^−1/(2x) (y−4)e^−1/(2x)=C y−4=Ce^1/(2x) y=4+Ce^1/(2x) Czynniki całkujące można było łatwo znaleźć ponieważ jest to równanie zarówno o rozdzielonych zmiennych jak i liniowe

jc: Te same rachunki, ale nieco inaczej. Zaczynasz od równania jednorodnego: 2x² u'+u=0.

z'		1
	= −
z		2x2

	1
ln z =
	2x

	1
z = exp(		)
	2x

Szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego jest oczywiste y =4.

	1
Zatem y = 4 + C exp(		).
	2x

jc: Zamiast z powinno być u.

Mariusz: Ja wyszedłem od tego że to równanie jest liniowe więc istnieje czynnik całkujący jest zależny od jednej zmiennej Później zauważyłem że jest to także równanie o rozdzielonych zmiennych i stąd drugi czynnik całkujący Równanie można rozwiązać w pamięci o ile wcześniej zapamiętamy czynniki całkujące dla pewnych szczególnych równań różniczkowych Czynniki całkujące wybranych równań Równanie o rozdzielonych zmiennych m₁(x)n₁(y)dx+m₂(x)n₂(y)dy=0

	1
μ(x,y)=
	n1(y)m2(x)

Równanie jednorodne

	y
y'=f(		)
	x

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

	1
μ(x,y)=
	xP(x,y)+yQ(x,y)

Równanie liniowe y'+a(x)y=b(x) μ(x)=exp(∫a(x)dx) Równanie Bernoulliego y'+p(x)y=q(x)y^r μ(x,y)=exp((1−r)∫p(x)dx)y^−r