Małe zadanko na strzała KRÓLIK: Zbiór M składa się z 2008 różnych liczb naturalnych. Uzasadnij, że ze zbioru M można wybrać trzy różne liczby a, b, c takie, że ab² − ac² dzieli się przez 2008 Nie mam zupełnie pojęcia jak to ugryźć... Ktoś dałby radę chociaż troszkę pomóc?

ICSP: Jak próbowałeś ?

KRÓLIK: wyciągnąłem: a(b² − c²) później: a(b+c)(b−c) rozłożyłem 2008 na czynniki pierwsze: 2, 2, 2, 251 i myślałem jakie warunki muszą spełniać czynniki iloczynu a(b+c)(b−c) żeby dana iloczyn był podzielny, ale niesetyty nic twórczego nie udało mi się wydumać...

Adamm: zauważ że b+c oraz b−c muszą być obie parzyste lub obie nieparzyste

KRÓLIK: no tak, trafna uwaga, czyli kwestia "dwóch dwójek" rozwiązana, ale co z pozostałym 2 i 251?

KRÓLIK: czy dobrze Cię zrozumiałem. Zbiór M zawsze będzie zawierał więcej niż dwie liczby tej samej parzystości, czyli będzie się dało bobrać takie b i c, żeby (b+c) oraz (b−c) były parzyste, tak?

ICSP: Masz zbiór złożony z 2008 elementów. Tzn, że możesz z niego wybrać minmum 8 liczb które dają taką samą resztę z dzielenia przez 251. Myśl jak to wykorzystać.

KRÓLIK: dobra, czyli można zawsze wybrać takie b i c, że skoro jest to zbiór 2008 elementowy − będą większe od 251, a ich reszta z dzielenia przez 251 będzie taka sama, więc b−c będzie podzielne przez 251, tak? I co z ostatnią "dwójką", gdyby wszystkie lelmenty były nieparzyste − mamy (b+c) i (b−c) 100% parzyste, a "a" już nie. Gdzie ukrywa się ostatnia dwójka?

ICSP: ... "8 liczb" ...

KRÓLIK: DOBRA! Mam chyba. Czyli zawsze będą musiały istnieć takie b i c, które będą miały taką samą resztę z dzielenia przez 251 i 8, tak? Czyli "a" nie robi tu żadnej roboty?

KRÓLIK: @ICSP jesteś najlepszy. Od zawsze, na zawsze <3