Dowodzik nierówności... MIERNY: Krótki dowodzik :3 Wykaż, że jeżeli a, b, c są długościami boków trójkąta, p − połową jego obwodu, a r − długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, to 1/(p−a)² + 1/(p−b)² + 1/(p−c)² ≥ 1/r² Próbowałem coś z nierówności Couche'go, ale bez żadnego skutku... Ktoś da radę pomóc?

MIERNY: Chociaż mniej więcej mnie naprowadzić na rozwiązanie?

g: Może coś pomoże równość: pole² = p(p−a)(p−b)(p−c) = p²r².

MIERNY: ech... troszkę chyba bliżej celu, ale wciąż nic nad wyraz ciekawego..

g: Mnożąc lewą stronę przez p(p−a)(p−b)(p−c), a prawą przez p²r² dostaniemy

(p−b)(p−c)		(p−a)(p−c)		(p−a)(p−b)
	+		+		≥ p
p−a		p−b		p−c

Zauważ że p = (p−a) + (p−b) + (p−c) Podstawiam x=p−a, y=p−b, z=p−c.

yz		xz		xy
	+		+		≥ x+y+z (mnożę przez 2xyz i przenoszę na jedną stronę)
x		y		z

x²(y²+z²−2yz) + y²(x²+z²−2xz) + z²(x²+y²−2xy) ≥ 0 już chyba widać.

MIERNY: wow Dziękuję. Nigdy bym do tego nie doszedł