Wykaż, że... (2LO roz) Airi: Wykaż, że jeśli a,b,c∊R to 3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)² Dowód można przeprowadzić korzystając z zależności między średnimi. Średnia kwadratowa≥średnia arytmetyczna dla a+b+c≥0 nie ma problemu. Ale jeśli tak nie jest to nie mam pomysłu co z tym zrobić.

Adamm:

	|a|+|b|+|c|
√(a2+b2+c2)/3≥		przy założeniu że a2+b2+c2≠0
	3

stąd 3(a²+b²+c²)≥(|a|+|b|+|c|)²≥(a+b+c)² dla a=b=c mamy tożsamość

Adamm: oczywiście |a|+|b|+|c|≥|a+b+c| z nierówności trójkąta dlatego (|a|+|b|+|c|)²≥(a+b+c)²

Adamm: dla a=b=c=0 mamy tożsamość*

jc: 3 (a²+b²+c²) = (a+b+c)² + (a−b)² + (b−c)² + (c−a)² ≥ (a+b+c)²

Airi: @Adamm Skąd wzięły się tam moduły? Bo wychodząc od średnich nie ma ich, a z tego co wiem nie można ich tak sobie dodać. Dalsze rozumowanie rozumiem.

Adamm: średnie działają tylko dla liczb dodatnich a²=|a|² etc.

Adamm: jc, czy istnieją jakieś uniwersalne sposoby obliczania sum szeregów?

	1
np. taki szereg ∑		dla n od 2 do nieskończoności
	n!−1

jc: Adamm, nie ma takich metod. Dodam mały komentarz do zadania. Ta nierówność to nierówność Scharza dla wektorów: (1,1,1) i (a,b,c).

Adamm: ok skoro dodałeś że jest to nierówność Schwarza, to ja dodam że jest to również nierówność Minkowskiego, którą można traktować jako jej uogólnienie

jc: To ja mam jeszcze takie skojarzenie. Funkcja f(x)=x² jest funkcją wypukłą i dlatego

	a+b+c		a2+b2+c2
(		)2 ≤
	3		3

(nierówność Jensena)