Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej, pomocy!!! Andrzej: Udowodnij za pomoca indukcji matematycznej: ⋀n∊N ∑ od k=1 do n 1/√k ≤ 2(√n+1 −1)

g: Nie zgadza się dla n=1: L=1/√1=1, P=2(√2−1)≈0.83

Andrzej: Sorka, zmieszalem 2 przyklady, pod pierwiastkiem kolo n nie powinno byc +1

Adamm: to wcale nic nie zmienia 1≤0 dla n=1

Andrzej: Mi dla n=1 wychodzi 1≤1 wiec sie zgadza

Andrzej: a bo zapomnialem dodac ze tam nie ma nawiasow wybaczcie

Adamm: przepisz normalnie, teraz już nie wiadomo o co ci chodzi

Andrzej: ⋀n∊N : ∑ od k=1 do n 1/√k ≤ 2√n −1

Adamm: dla n=1 mamy 1≤1 więc ok

	1		1		1
zakładamy że dla n jest		+		+...+		≤2√n−1
	√1		√2		√n

	1		1		1		1		1
mamy		+		+...+		+		≤2√n−1+
	√1		√2		√n		√n+1		√n+1

	1
teraz 2√n+		≤2√n+1 ⇔ 2√n2+n+1≤2(n+1) ⇔ 4(n2+n)≤4n2+4n+1 ⇔ 0≤1
	√n+1

	1		1		1		1		1
zatem		+		+...+		+		≤2√n−1+		≤2√n+1−1
	√1		√2		√n		√n+1		√n+1

więc na mocy indukcji nierówności zachodzi dla każdego n≥1, n∊ℕ

Andrzej: Jakies dodatkowe objasnienia? Od "teraz" ?

Adamm:

	1
przez równoważność udowodniłem nierówność 2√n+		≤2√n+1,
	√n+1

która była mi potrzebna przy dowodzie indukcyjnym

Adamm: oczywiście założyliśmy że n∊ℕ więc przejścia faktycznie były równoważne

jc: Mały komentarz.

1		2
	<		< 2(√n−√n−1)
√n		√n + √n−1

1		1		1		1
	+		+		+ ... +
√1		√2		√3		√n

< 2(√1−√0) + 2(√2−√1) + 2(√3−√2) + ... + 2(√n−√n−1) = 2(√n − 1)

jc: W dowodzie Adamma była potrzebna nierówność:

1		2
	<		= 2(√n+1 − √n)
√n+1		√n+1+√n