z Opos: D'hospital lim_x→0 (e^x + x)^1_x Mógłby ktoś mi to rozwiązać metodą D'hospitala ? Proszę o konkretne wytłuamczenie.

Adamm: lim_x→0 (1+(e^x−1+x))^{[1/(ex−1+x)](ex−1+x)/x} lim_x→0 (1+(e^x−1+x))^1/(ex−1+x) = e

	ex−1+x
limx→0		= 2
	x

lim_x→0 (1+(e^x−1+x))^{[1/(ex−1+x)](ex−1+x)/x} = e²

Opos: Jest na to jakaś reguła konkretna ? Ostatnio miałem również przykład lim_x→∞ (cos3x)^1_x2, mógłbyś go również rozwiązać, gdyż sobie z nim nie poradziłem ?

Opos:

	1
w wykładniku jest
	x2

Adamm: to nie jest reguła, po prostu nie lubię używać reguły Hospiatala, jeśli nie muszę sprowadzam granicę do postaci (1+f(x))^1/f(x) przy czym f(x)→0 wraz z x→x₀

Opos: A móglbys rozwiazac ten drugi przyklad ? Zaraz przestudiuje ten pierwszy.

Adamm: e^[ln(ex+x)]/x sprawdzamy granicę w potędze

	ln(ex+x)		ex+1   ex+x
limx→0		= limx→0		= 2
	x		1

Adamm: to jest regułą Hospitala, zwyczajnie liczysz pochodną z licznika, mianownika, nudy

Adamm: 22:16, jesteś pewien że x→∞ ?

Opos: Oczywiscie x→0 !

Opos: Z popędu popełniłem błąd, przepraszam.

Opos: 22:24 do tej postaci doprowadziłeś przy użyciu tej samej metody co w zadaniu pierwszym ?

Adamm: lim_x→0 (1+(cos(3x)−1))^{[1/(cos(3x)−1)](cos(3x)−1)/x2} lim_x→0 (1+(cos(3x)−1))^{1/(cos(3x)−1)} = e

	cos(3x)−1		−2sin2(3x/2)
limx→0		= limx→0		=
	x2		x2

	−9sin2(3x/2)		9
=limx→0		= −
	2(3x/2)2		2

lim_x→0 (cos(3x))^1/x2 = e^9/2 lim_x→0 e^{ln(cos(3x))/x2}

	ln(cos(3x))		sin(3x)   −3   cos(3x)		9
limx→0		= limx→0		= −
	x2		2x		2

tak samo wynik to e^−9/2

	sinx
tutaj już nie użyliśmy ponownie Hospitala bo limx→0		= 1, granica specjalna
	x

Adamm: Opos, jeśli chcesz korzystać z Hospitala, to mając symbol nieoznaczony w postaci 0⁰ itd., bawiąc się w potęgi, sprowadzasz funkcję f(x)^g(x), przy czym f(x)>0 do postaci e^{ln(f(x))*g(x)} przy czym zajmujesz się granicą ln(f(x))*g(x)

Opos: Super, dziękuję bardzo za pomoc. Przestudiuję wszystko na spokojnie, spróbuję zrobić kilka przykładów i ewentualnie odezwę się później w tym samym temacie Jeszcze raz bardzo dziękuję.

Adamm: oczywiście w linijce piątej, post 22:41 miało być e^−9/2 zamiast e^9/2

Opos: Adamm jesteś jeszcze na forum ?

Opos: Wszystko już jednak ogarnąłem. Dzięki jeszcze raz za super wytłumaczenie !