Zbadać monotoniczność funkcji i wyznaczyć ekstremum kuba: Zbadać monotoniczność funkcji i wyznaczyć ekstremum f(x) = ln²x + 8lnx + 2 D: (0,+oo) Rozwiązanie: f'(x) = 2lnx * 1/x + 8/x = ^2lnx+8 _x f'(x) = 0 <=> 2lnx + 8 = 0 => x = e⁻⁴ f(x) jest malejąca na przedziale (0,e⁻⁴) f(x) jest rosnąca na przedziale (e⁻⁴, + oo) I teraz mam pytanie jak zbadać czy w e⁻⁴ jest max/min lokalne?

Adamm: f(x)=ln²x+8lnx+2 ponieważ funkcja lnx jest funkcją rosnącą o zbiorze wartości ℛ, to zastępując f funkcją pomocniczą g(x)=x²+8x+2 otrzymamy te same ekstrema funkcja ma minimum dla x=−4 zatem f(x) ma minimum dla lnx=−4 czyli x=e⁻⁴

Adamm: nie trzeba nawet znać pochodnych do tego zadania

jc: f(x) jest malejąca na przedziale (0,e−4) f(x) jest rosnąca na przedziale (e−4, + oo) To wyjaśnia, że mamy minimum lokalne (globalne). Można było od razu popatrzyć na f, ja na złożenie. f(x)=(ln x + 4)² − 14 Funkcja ln x jest rosnąca, i przyjmuje dowolne wartości. W punkcie, gdzie ln x = −4 czyli dla x=e⁻⁴ mamy minimum równe −14.