Problem z macierzą. ZielonyMatematyk.: Witam! Jak policzyć wektory własne i główne macierzy: | 3 0 4 | A = | 0 −1 0 | |−2 0 −3 | Wychodzą wartości własne: λ₁ = −1_II i λ₂ = 1_I. Dla: λ₂ = 1_I wektor v₁ = [ −2, 0 1 ]^T. Dla: λ₁ = −1_II wektor v₂ = [ 1, t, −1]^T; t ∊ R. I tu jest problem, bo dla −1 musi być jeszcze wektor 2 rzędu, bo jest to 2−krotna wartość własna. Potrzebne to jest do macierzy P. A = PJP⁻1. Bez tego trudno bedzie podnieść A do wielkiej potęgi . Jakieś pomysły?

K: 4 0 4 0 0 0 −2 0 −2 4x+4z=0 −2x−2z=0 x=−z y dowolne z=a y=b x=−a a,b ∊R (x,y,z)=(−a,b,a)=a(−1,0,1)+b(0,1,0)

jc: [1] [0] [−1] [2] [0] [−1] [0] [1] [0]

ZielonyMatematyk.: Dzięki! Jednak dalej coś jest nie tak... Mam macierz Jordana: |−1 1 0 | |0 −1 0 | |0 0 1| Do macierzy P wkładam te wektory i mnożę: A = P*J*P¹. I wychodzi sprzeczność. Jak to możliwe ? . Mam pytanie: Który z tych 2 wektorów dla wartości własnej −1 jest wektorem własnym, a który wektroem 2 rzędu? Czy oba są własnymi? Bo jak tak, to mam macierz Jordana źle. Pogubiłem się... Robiłem już takie potęgowania wiele razy, ale ten przykład to jakiś dziwny .

jc: Zielony matematyku, rozpatrywaną macierz możesz zdiagonalizować. Zmieniając kolejność elementów bazy otrzymasz P= [1 0 2] [0 1 0] [−1 0 −1] PJP⁻¹=macierz diagonalna

jc: Usuń drugie zdanie. Niechcący zostawiłem. Reszta o.k.

ZielonyMatematyk.: Dzięki! Po zamianie macierzy Jordana na dobrą wszystko się zgadza. Ciekawi mnie tylko 1: dwie klatki Jordana dla −1 świadczą o tym, że są dla −1 2 wektory własne. Czyli oba wyznaczone dla −1 wektory są wektorami własnymi? Bo normalnie wyznacza się własne, robi macierz Jordana, a jak własnych jest za mało, to przy tworzeniu macierzy P trzeba sobie znaleźć jeszcze wektory większych rzędów. To jak to jest?

jc: Różnie jest. [1 0] [0 1] każdy wektor jest wektorem własnym z wartością własną 1. [1 1] [0 1] Masz tylko jeden wektor własny. Zmieniając kolejność elementów bazy w rozpatrywanym przypadku otrzymasz [3 4 0] [−2 −3 0] [0 0 1] Teraz chyba widzisz dlaczego było łatwo?