dowód algebraiczny Soph: Udowodnij, że dla dowolnych liczb x,y: (x+y)(1+xy) ≤ (1+x²)(1+y²)

yht: (x+y)(1+xy) ≤ (1+x²)(1+y²) x + x²y + y + xy² ≤ 1 + y² + x² + x²y² x + x²y + y + xy² − 1 − y² − x² −x²y² ≤ 0 |*(−1) −x −x²y − y − xy² + 1 + y² + x² + x²y² ≥ 0 x²y² − xy² + y² − x²y − y + x² − x + 1 ≥ 0 (x²−x+1)y² − (x²+1)y + x²−x+1 ≥ 0 funkcja zmiennej y, z parametrem x udowodnimy, że dla dowolnej wartości parametru x∊R nierówność (x²−x+1)y² − (x²+1)y + x²−x+1 ≥ 0 jest spełniona dla każdego y∊R będzie tak wtedy, gdy a>0 i Δ≤0 (część wspólna tych 2 warunków gwarantuje że parabola ay²+by+c leży cała nad osią x czyli przyjmuje wartości ≥0 dla dowolnego y∊R) a = x²−x+1, b = −(x²+1), c = (x²−x+1) warunek na a: a>0 x²−x+1>0 Δ_a = (−1)²−4*1*1 = 1−4 = −3 < 0 brak miejsc zerowych parabola x²−x+1 leży cała nad osią x zatem z warunku a>0 mamy x∊R warunek na deltę: Δ≤0 Δ = b²−4ac Δ = (x²+1)²−4*(x²−x+1)(x²−x+1) = (x²+1)²−4(x²−x+1)² = (x²+1)²−(2x²−2x+2)² = = [x²+1−(2x²−2x+2)]*[x²+1+2x²−2x+2] = (x²+1−2x²+2x−2)(3x²−2x+3) = = (−x²+2x−1)(3x²−2x+3) = −(x²+2x+1)(3x²−2x+3) = −(x+1)²(3x²−2x+3) Δ≤0 → −(x+1)²(3x²−2x+3) ≤ 0 |*(−1) (x+1)²(3x²−2x+3) ≥ 0 |:(x+1)² (3x²−2x+3) ≥ 0 Δ_x = (−2)²−4*3*3 = 4−36 = −32 < 0 stąd rozwiązaniem nierówności (3x²−2x+3) ≥ 0 jest x∊R więc warunek Δ≤0 jest spełniony dla x∊R

relaa: Można tak zapisać to wyrażenie. x²y² − xy² + y² − x²y − y + x² − x + 1 ≥ 0

1
	[x2(y − 1)2 + y2(x − 1)2 + (y − 1)2 + (x − 1)2] ≥ 0
2