Proszę o wykonanie jak najszybciej Michał_: 1. Zbadać czy istnieje granica i jeśli tak to obliczyć: lim (²ⁿ_2n+1)²ⁿ x→∞ 2.Obliczyć granice: lim (√1−2x−x² − (1+x))/2x x→0 3.Obliczyć całkę: ∫ (^1−z_x)² dz 4.Całkując przez części obliczyć całkę: ∫cosx ln(ctgx)dx 5.Całkując przez podstawianie obliczyć całkę: ∫ ^{(arctg x)2}_1+x² dx 6. Stosując odpowiednie podstawienie obliczyć całkę: ∫ ^dx_{x² − 6x +12^x)} 7.Obliczyć całkę funkcji wymiernej: ∫ ^{(2x3 + x2 +5x +1)dx}_{(x²)(x² −x +1)} 8. Obliczyć całkę funkcji trygonometrycznych: ∫sin³ xdx 9.Obliczyć całki funkcji niewymiernych: ∫ ^dx_{(x+1) √1−x} 10. Obliczyć całkę ∫ ^(x−3)dx_{√x² + 4x +5} 11. Na podstawie definicji znaleźć wzór na pochodną funkcji: y= −2 + 5x² 12. Napisać równanie stycznej do lini y= ^x2₃ w punkcie x=1 13. Pod jakim kątem linia y = sin x przecina oś OX? 14. Dla funkcji y = (1+x √x)x obliczyć y'(0) − y'(1) 15. Pokazać, że pochodna fukcji f(x) = ^{1−x + x2 − x3}_√2 jest fukcją parzystą 16. Znaleźć punkty, w których następujące punkty nie posiadają pochodnych: a) y= |x+2| b) y= |x| + |x−1| Wyniki zilustrować rysunkiem. 17. Obliczyć pochodne funkcji: y= e^x √1−e^2x + arcsin e^x 18. W jakim punkcie styczna do paraboli y = x² +1 a) jest równoległa do osi OX b) tworzy z dodatnim kierunkiem osi OX kąt α= ^π₃ 19. Jaki warunek muszą spełnić współczynniki a,b i c, aby parabola y= ax² + bx + c była styczna do osi OX. 20. Znaleźć kąt przecięcia krzywych y = x ² i y=x

echech:

	2n
1)lim		= 1 jesli sie nie myle
	2n(1+ 12n)

Michał_: UP!

piotr: 1)

	1		−1
lim (1−		)2n = lim (1+		)2n = e−1
	2n+1		2n+1

Adamm: 16. a) x=−2 b) x=0, x=1 18. a) (0, 1)

	√3		7
b) (		,		)
	2		4

19. a≠0, b²−4ac=0

Adamm: x²=x dla x=0 lub x=1

	1
w punkcie 0, tgα=1, w punkcie 1, tgα=
	3

Michał_: Mógłbym prosić o reszte?

Jerzy:

	1		1		1
3) =		∫(1 − 2z + z2)dz =		*(z − z2 +		z3) + C
	x		x		3

Jerzy:

	1
5) arctgx = t ;		dx = dt
	1+x2

	1		1
....= ∫t2dt =		t3 + C =		arc3tgx + C
	3		3

Jerzy: 8) cosx = t − sinxdx = dt

	1
= ∫sin2x*sinxdx = ∫(1 − cos2x)*sinxdx = −∫(1 − t2)dt = −∫dt + ∫t2dt = −t +		t3 + C =
	3

	1
= − cosx +		cos3x + C
	3

Jerzy:

	1
12) f(x) =		x2
	3

	2		2		1
f'(x) =		x ; f'(1) =		; f(1) =
	3		3		3

	2		1		2		1
Styczna: y = f'(1)(x − 1) + f(1) =		(x − 1) +		=		x −
	3		3		3		3

Jerzy: 15) Pochodna tej funkcji nie jest funkcją parzystą.

Jerzy: 19) a ≠ 0 i b² − 4ac = 0

Jerzy:

	5(x+h)2 − 2 − (5x2 − 2)		10xh + 5h2
11) = limh→0		= limx→0		=
	h		h

= lim_h→0(10x + h) = 10x

Jerzy: ...w ostatnim nawiasie powinno być: (10x + 5h)

Michał_: Mógłbym prosić jeszcze o zadania 2,4,6,7,8,9,10,13,14,17,20 ?

jc:

	2n		2n+1		1
(		)2n = 1 / (		)2n = 1 / (1 +		)2n →1 / e
	2n+1		2n		2n

Kacper: Zadania na egzamin? poprawkę? Więcej nie było?

jc: ∫cosx ln(ctgx)dx = − ∫ (sin x)' ln tg x dx = − sin x ln tg x + ∫ 1 / cos x dx

	1		1+sin x
= − (sin x) (ln tg x) +		ln
	2		1−sin x

Michał_: mógłbym prosić o pozostałe?