Zmienność funkcji Alicja: Czy wie ktoś jak wyznaczyć i moglby podać rozwiązanie z krótkim wytłumaczeniem lub ewentualnie najważniejszymi wzorami: esktrema(czy sa to maks czy min) i przedziały monotoniczności funkcji, punkty przegięcia, wypukłość i wklęsłość, asymptoty ukośne funkcji f(x)= x−2arctgx

yht: f(x) = x−2arctgx Dziedzina: x∊R monotoniczność obliczamy z pierwszej pochodnej:

	2
f'(x) = (x−2arctgx)' = 1−
	1+x2

f(x) rosnąca wtedy, gdy f'(x)>0

	2
f'(x)>0 wtedy gdy 1−		>0
	1+x2

Uwaga! Przy mnożeniu i dzieleniu stronami przez liczbę dodatnią znak nierówności nie ulega zmianie, a przez ujemną − należy go zmienić musimy mieć pewność że mnożymy nierówność stronami przez liczbę dodatnią stąd zwyczaj że w celu pozbycia się ułamka mnożymy zwykle przez kwadrat mianownika żeby mieć pewność że mnożymy przez liczbę dodatnią (bez zmiany znaku nierówności) tutaj liczba w mianowniku 1+x² jest dodatnia dla każdego x∊R więc (wyjątkowo) można pomnożyć przez mianownik a nie kwadrat mianownika

	2
1−		>0 |*(1+x2)
	1+x2

1(1+x²)−2>0 1+x²−2>0 x²−1>0 (x−1)(x+1)>0 x∊(−∞,−1), (1,+∞) − na każdym z tych przedziałów f(x) jest rosnąca malejąca będzie gdy f'(x) < 0

	2
czyli 1−		<0
	1+x2

obliczenia te same tylko znak inny ... (x−1)(x+1)<0 x∊(−1,1) − wtedy f(x) malejąca ekstrema: na podstawie wyliczonej monotoniczności, obserwując wykres, można wysnuć wnioski co do ekstremów (i ich rodzajów − min czy max): (−∞,−1) rosnąca, (−1,1) malejąca, (1,+∞) rosnąca Mamy zatem 2 ekstrema: x = −1 (max) x = 1 (min). Przedziały wypukłości z 2−giej pochodnej:

	2		4x
f''(x) = (1−		)' =
	1+x2		(1+x2)2

obliczysz ją stosując wzór na pochodną ilorazu f(x) jest wypukła gdy f''(x)>0

	4x
f''(x) > 0 wtedy gdy		> 0
	(1+x2)2

4x
	> 0 |*(1+x2)2
(1+x2)2

4x > 0 x > 0 f(x) dla x∊(0,+∞) jest wypukła f(x) jest wklęsła gdy f''(x) < 0

4x
	< 0 |*(1+x2)2
(1+x2)2

4x<0 x < 0 f(x) dla x∊(−∞, 0) jest wklęsła f(x) ma punkt przegięcia gdy f''(x)=0

4x
	= 0 |*(1+x2)2
(1+x2)2

4x = 0 x = 0 − punkt przegięcia asymptoty ukośne: asymptota ukośna lewostronna: y = a₁x+b₁ gdzie:

	f(x)
a1 = limx→ −∞
	x

	f(x)
jeśli granica limx→ −∞		wyjdzie 0, −∞, +∞, to w tych trzech przypadkach asymptota
	x

ukośna lewostronna nie istnieje!

	f(x)		x−2arctgx		2arctgx
limx→ −∞		= limx→ −∞		= limx→ −∞ 1 −		=
	x		x		x

	−π/2		π
1−2*		= 1+		= 1−0 = 1 − czyli asymptota ukośna lewostronna istnieje
	−∞		−∞

b₁ = lim_{x→ −∞} f(x) − a₁*x = lim_{x→ −∞} x−2arctgx −1*x = lim_{x→ −∞} x−2arctgx−x = limx→

	π
−∞−2arctgx = −2*(−		) = π
	2

y = x+π − równanie asymptoty ukośnej lewostronnej −−− asymptota ukośna prawostronna y = a₂x+b₂ gdzie

	f(x)
a2 = limx→∞
	x

tak samo, jeśli ta granica wyniesie 0, +∞ bądź −∞, to asymptota ukośna prawostronna nie istnieje

	f(x)		x−2arctgx		2arctgx		2*π/2
limx→∞		= limx→∞		= limx→∞ 1−		= 1−		=
	x		x		x		+∞

1−0 = 1

	π
b2 = limx→∞ f(x) − a2*x = limx→∞ x−2arctgx−1x = limx→∞ −2arctgx = −2*		= −π
	2

a₂ = 1, b₂ = −π y = x−π − równanie asymptoty ukośnej prawostronnej

Alicja: Super! Teraz juz poradzę sobie z kolejnymi przykładami, dzieki wielkie!